Відповідь:

Пояснення:

Спочатку знайдемо довжину AB за допомогою теореми Піфагора в трикутнику ABC:

AB² = AC² + BC²

AB² = 6² + BC²

AB² = 36 + BC²

AB = √(36 + BC²)

Аналогічно, з трикутника BMC маємо:

BC² + MB² = MC²

BC² + 4² = 10²

BC² = 100 - 16

BC = √84

Підставляємо отримані значення в формулу для AB:

AB = √(36 + BC²) = √(36 + 84) = √120 = 2√30

Тепер можемо знайти синус кута між площинами ABC і AMC за допомогою векторного добутку нормалей до цих площин:

sin(∠BAM) = (n_1 x n_2) / (|n_1| |n_2|)

де n_1 і n_2 - нормалі до площин ABC і AMC відповідно.

Нормалі можна знайти, взявши векторний добуток двох векторів, що лежать у цих площинах. Наприклад, вектор AB і вектор AC лежать у площині ABC, тому їх векторний добуток дасть нормаль до площини ABC:

n_1 = AB x AC

n_1 = (2√30, 0, 0) x (0, 6, 0)

n_1 = (0, 0, 12√30)

Аналогічно, вектор MB і вектор MC лежать у площині AMC, тому їх векторний добуток дасть нормаль до площини AMC:

n_2 = MB x MC

n_2 = (0, 4, 0) x (10, 0, 0)

n_2 = (0, 0, 40)

Тепер знаходимо добуток нормалей:

n_1 x n_2 = (0, 0, 12√30) x (0, 0, 40)

n_1 x n_2 = (-480√30, 0, 0)

та їх модулі:

|n_1| = √(0² + 0² + (12√30)²) = 12√10

|n_2| = √(0² + 0² + 40²) = 40

Тоді:

sin(∠BAM) = (n_1 x n_2) / (|n_1| |n_2|)

sin(∠BAM) = (-480√30) / (12√10 * 40)

sin(∠BAM) = -√3 / 3

Отже, кут між площинами ABC і AMC можна знайти за допомогою оберненого синуса:

∠BAM = arcsin(-√3 / 3) ≈ -60°

Однак, ми отримали від'ємне значення кута, тому треба з'ясувати, чому це сталося. За звичайними умовами, кут між двома площинами повинен бути від 0° до 180°. Однак, у нашому випадку, площина AMC лежить нижче площини ABC, тому кут між ними вважається за від'ємний. Щоб отримати додатнє значення кута, треба просто взяти доповнення до 180°:

∠BAM = 180° - |-60°| = 180° + 60° = 240°

Отже, кут між площинами ABC і AMC дорівнює 240°.