Ответ:

Периметр четырехугольника АСЕК равен 54 ед.

Объяснение:

В треугольнике ABC, AB = 30, AC = 20, BC = 25; AE - биссектриса угла A. Из точки E проведена параллельная прямая к стороне AC, которая пересекает сторону AB в точке K. Найдите периметр четырехугольника ACEK.

Дано: ΔАВС;

AB = 30, AC = 20, BC = 25;

​AE - биссектриса;

ЕК || AC.

Найти: Р(АСЕК)

Решение:

1. ​AE - биссектриса;

Свойство биссектрисы:

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

[tex]\displaystyle \frac{EB}{EC} =\frac{AB}{AC}[/tex]

Пусть ЕВ = х, тогда ЕС = 25 - х

[tex]\displaystyle \frac{x}{25-x} =\frac{30}{20}\\\\20x=750-30x\\\\50x=750\;\;\;\;\;|:50\\\\x=15[/tex]

⇒ EB = 15;  EC = 10.

2. Рассмотрим ΔКВЕ и ΔАВС.

• Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔКВЕ ~ ΔАВС

Запишем отношения сходственных сторон:

[tex]\displaystyle \frac{BE}{BC}=\frac{KE}{AC} \\\\\frac{15}{25} =\frac{KE}{20}\\ \\KE=\frac{15\cdot20}{25} \\\\KE=12[/tex]

3. Рассмотрим ΔАКЕ.

∠1 = ∠2 (условие)

∠3 = ∠2 (накрест лежащие при КЕ || AC и секущей АЕ)

⇒ ∠1 = ∠3

• Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

⇒ АК = КЕ = 12

4. Рассмотрим АСЕК.

• Периметр - сумма длин всех сторон.

Р(АСЕК) = АК + КЕ + ЕС + АС = 12 + 12 + 10 + 20 = 54

Периметр четырехугольника АСЕК равен 54 ед.