Дан треугольник ABC, AC = BC > AB. Точка О — центр окружности, описанной треугольником АВС. Точка М — середина стороны АС. Окружность, описанная на треугольнике АМО, пересекает отрезок ВМ в точке Х, отличной от М. Докажите, что CX = 2MX.
Copyright © 2025 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
Объяснение:
В треугольнике ABC, AC=BC, поэтому это равнобедренный треугольник. Точка О является центром описанной окружности, поэтому OA=OB=OC. Так как M-середина АС, то АМ=МС.
Теперь рассмотрим треугольник АОМ и окружность описанную вокруг него. Так как Х лежит на этой окружности и на линии ВМ угол АМХ равен углу АОХ (по свойству окружности). Но АОХ=ВОС( так как ОА=ОВ=ОС), поэтому угол АМХ=ВОС.
Также так как АС=ВС и М-середина АС, то ВМ перпендикулярно АС и проходит через О. Значит угол ВОС-прямой. Из этого следует, что угол АМХ также прямой, и АХ перпендикулярно МХ.
Теперь рассмотрим треугольник МСХ. Мы знаем, что МХ перпендикулярно АХ и МС=МА. Значит треугольник МСХ-равнобедренный прямоугольный треугольник, и МХ=ХС/2.
Но мы знаем что АС=ВС, поэтому СХ=2МХ. Это доказывает утверждение.