Ответ:

Позначимо довжини сторін трикутника ABC як a, b, c, а довжину відрізка BK як x.

За теоремою про вписані кути в коло, ми знаємо, що дотична до кола у точці K є перпендикуляром до радіуса, що йде з центру кола до точки дотику. Отже, К - це середина відрізка BC, тобто BK = KC = (b-c)/2.

За теоремою Піфагора, ми також можемо знайти довжину третьої сторони трикутника ABC:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

де A - кут при вершині A. Оскільки коло вписане в трикутник, то точки дотику кола до сторін лежать на бісектрисах кутів трикутника, і тому можемо записати:

b + c = 2a

Також нам дано, що периметр трикутника ABC дорівнює 16 см:

a + b + c = 16

Звідси можна знайти значення a, b і c:

a = (16 - (b+c))/2 = 8 - (b+c)/2

b + c = 2a = 16 - (b+c)

b = (16 - 3c)/4

Підставляючи ці значення в формулу для a^2, отримаємо:

(8 - (b+c)/2)^2 = ((16 - 3c)/4)^2 + c^2 - ((16 - 3c)/2)ccos(A)

Враховуючи, що коло вписане в трикутник, то кут A/2 є половиною кута між дотичною до кола і стороною, що їй вона дотикається. Оскільки точка K є точкою дотику кола до сторони BC, то кут A/2 дорівнює куту KBK. Таким чином, ми можемо записати:

cos(A) = x/(b+c)

Оскільки ми знаємо, що b + c = 2a, то можемо переписати останню формулу як:

cos(A) = x/a

Підставивши це значення в попередній рівняння, отримаємо:

(8 - (b+c)/2)^2 = ((16 - 3c)/4)^2 + c^2 - ((8 - (b+c))/2)*x

Объяснение: