Verified answer

Ответ:

ОН = 7,2 ед.

Объяснение:

В треугольнике АВС проведена высота ВН и биссектриса СМ , пересекающиеся в точке О. Найти ОН, если АВ =58, ВС =41 и

АС =51.

По условию дан ΔАВС , АВ =58 ед., ВС =41 ед. , АС =51 ед.

ВН - высота, СМ  - биссектриса, ВН ∩СМ = О.

Найдем высоту ВН. Пусть СН = х ед., тогда  АН = (51 -х ) ед.

Рассмотрим Δ АНВ и ΔСНВ - прямоугольные и применим теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ВН² = ВС² - СН ²= 41² - х²;

ВН²= АВ ²- АН²= 58² - (51 - х)².

Тогда решим уравнение

41² - х² =  58² - (51 - х)² ;

1681 - х² = 3364 - 2601 + 102х - х²;

1681 - х² -3364 +2601 -102х +х² =0;

918 - 102х = 0;

102х = 918;

х = 918 : 102;

х = 9

Значит, СН = 9 ед.

Тогда  ВН² =  41² - 9²= 1681 - 81 = 1600

ВН = √ 1600 = 40 ед.

СМ - биссектриса ΔАВС. Тогда СО - биссектриса Δ СНВ.

По свойству биссектрисы: биссектриса треугольника долит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

[tex]\dfrac{CB}{BO } =\dfrac{CH}{OH}[/tex]

Пусть ОН = y ед. , а ВО = (40 - y) ед.

[tex]\dfrac{41}{40-y } =\dfrac{9}{y};\\\\41y=9\cdot(40-y);\\41y=360 -9y;\\41y+9y =360;\\50y=360;\\y=360:50;\\y= 7,2[/tex]

Значит, ОН = 7,2 ед.

#SPJ1