Verified answer

Ответ:

Нехай A, B, C - точки дотику вписаного кола з відповідними сторонами BC, AC і AB.

Нехай D - точка перетину ліній AN і CM.

Тоді AD і CD є бісектрисами трикутника ABC і зустрічають BC і AB з точками дотику кола відповідно в N і A.

За теоремою про бісектриси маємо:

AC / AB = CN / BN = 3 / 2

Отже, BC / AB = 5 / 2.

Також маємо BM = MC = 8см.

За формулою півпериметра:

s = (a + b + c) / 2,

де s - півпериметр трикутника,

a, b, c - довжини сторін трикутника,

отримуємо:

a + b + c = 92

З теореми Піфагора для трикутника ABN маємо

AN ^ 2 + BN ^ 2 = AB ^ 2,

тобто

AN ^ 2 + (s - a) ^ 2 = r ^ 2,

де r - радіус вписаного кола.

Аналогічно, для трикутника BCM маємо

MC ^ 2 + BC ^ 2 = BM ^ 2,

тобто

(s - c) ^ 2 + BC ^ 2 = r ^ 2.

Підставляємо дані, отримуємо:

AN ^ 2 + (s - a) ^ 2 = r ^ 2,

(MC ^ 2 + BC ^ 2) + (s - b) ^ 2 = r ^ 2,

AN ^ 2 + (s - a) ^ 2 = (MC ^ 2 + BC ^ 2) + (s - b) ^ 2.

Підставляємо вирази для AN, CN, BM і BC залежно від AB і отримуємо:

(3 / 5) * (s - a) ^ 2 + (2 / 5) * (s - b) ^ 2 = 64.

Також відомо, що AD і CD є бісектрисами трикутника ABC, тобто

BD / DC = AB / AC = 2 / 3.

З цього ми можемо знайти довжини BC і AB, тобто:

BC = (3 / 5) * BD,

AB = (5 / 2) * BD.

Підставляємо