Оскільки діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл, то ВО = ОС. Застосуємо формулу для векторного добутку:

a × b = |a| |b| sin α n

де α - кут між векторами a та b, n - одиничний вектор, перпендикулярний площині, утвореній векторами a та b.

Оскільки ВО = ОС, то вектори OB та OD можна розбити на дві частини: OB = OA + AO і OD = OC + CO, де AO = CO і OA = OC.

Отже,

OB = OA + AO = OC + CO + AO = OC + OA + CO = CD,

OD = OC + CO = OA + AO + CO = OA + OC + CO = AB.

Таким чином, ми отримали AB і CD через вектори a і b:

AB = OA + OC + CO = a + b,

CD = OC + OA + CO = b + a.

Довжина діагоналі паралелограма:

AC = |AB - CD| = |(a + b) - (b + a)| = 0.

Отже, діагоналі паралелограма не мають довжини, що є очевидним фактом.