Пошаговое объяснение:

Для решения задачи построим четырехугольник ABCD с заданными диагоналями и точкой пересечения диагоналей О. Затем построим медианы ОЕ1, ОЕ2, ОЕ3, ОЕ4 в треугольниках AOB, BOC, COD, DOA соответственно. Обозначим точки пересечения медиан с диагоналями: M1 - точка пересечения медиан ОЕ1 и диагонали AC, M2 - точка пересечения медиан ОЕ2 и диагонали BD, M3 - точка пересечения медиан ОЕ3 и диагонали AC, M4 - точка пересечения медиан ОЕ4 и диагонали BD.

По свойству медиан в треугольниках ОЕ1А и ОЕ1В медиана ОЕ1 делит сторону AB пополам, то есть AB = 2OM1. Аналогично, в треугольниках ОЕ2В и ОЕ2С медиана ОЕ2 делит сторону BC пополам, то есть BC = 2OM2. В треугольниках ОЕ3С и ОЕ3D медиана ОЕ3 делит сторону CD пополам, то есть CD = 2OM3. И, наконец, в треугольниках ОЕ4D и ОЕ4А медиана ОЕ4 делит сторону DA пополам, то есть DA = 2OM4.

Теперь найдем длины сторон четырехугольника Е1Е2Е3Е4. По свойству медиан в треугольнике ABC медиана ОМ1 делит диагональ BD пополам, то есть BD = 2OM1 + 2OM2. Аналогично, в треугольнике CDA медиана ОМ3 делит диагональ BD пополам, то есть BD = 2OM3 + 2OM4. Таким образом, 2OM1 + 2OM2 = 2OM3 + 2OM4, откуда OM1 + OM2 = OM3 + OM4.

Рассмотрим случай, когда четырехугольник Е1Е2Е3Е4 является ромбом. В этом случае все его стороны равны, то есть Е1Е2 = Е2Е3 = Е3Е4 = Е4Е1. Из вышеуказанного равенства следует, что OM1 + OM3 = OM2 + OM4.

Таким образом, четырехугольник Е1Е2Е3Е4 является ромбом, если и только если OM1 + OM2 = OM3 + OM4.