Решение.

Ромб - четырёхугольник с равными сторонами .

Вычислим длины сторон четырёхугольника с вершинами

[tex]\bf A(3;5)\ ,\ B(-1;-1)\ ,\ C(-7;-5)\ ,\ D(-3;1)\\\\d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\\\\AB=\sqrt{(3+1)^2+(5+1)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\\\DC=\sqrt{(-1+7)^2+(-1+5)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\\\CD=\sqrt{(-7+3)^2+(-5-1)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\\\AD=\sqrt{(3+3)^2+(5-1)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\\\AB=BC=CD=AD[/tex]

Все стороны четырёхугольника равны, значит этот четырёхугольник - ромб .