Verified answer

Ответ и Объяснение:

Перевод: В прямоугольник ABCD вписан круг с центром в точке О, касающийся сторон АВ, ВС и AD, и полукруг с диаметром CD (см. рисунок). Круг и полукруг имеют только одну общую точку. АВ = 8 см. Выберите для начала предложений (1-3) их окончание (АД) так, чтобы образовалось правильное утверждение.

Начало предложения:

1. Длина стороны ВС равна

2. Длина отрезка ОС равна

3. Расстояние от середины отрезка АО до прямой CD равно

А.10 см.

Б. 12 см.

В. 16 см.

Γ. 4√5 см.

Д. 43 см.

Решение. В прямоугольнике противоположные стороны равны BC=AD и AB=CD, то есть CD = АВ = 8 см. Значит, диаметры полного круга и полукруга равны 8 см. Отсюда, радиусы полного круга и полукруга равны 8:2 = 4 см. Проведём через центр полного круга отрезки EF и GH так, чтобы EF||BC и GH||AB (см. рисунок), а точку пересечения круга и полукруга обозначим через K. Очевидно, EF⊥CD, AE=BE=EO=GO=HO=KO=KF=CF=DF= 4 см.

Тогда GC = KO+KF =  4 см+4 см = 8 см,

BC = BG+GC = 4 см+8 см = 12 см (ответ Б).

Проведём отрезок OC. Так как OGCF прямоугольник, то образуется прямоугольный треугольник OGC. Применим теорему Пифагора:

OC² = OG²+GC² = 4²+8² = 16+64 = 80 = (4√5)²,

то есть OC = 4√5 см (ответ Г).

Проведём отрезок от середины M отрезка АО до прямой CD перпендикуляр MN. По определению расстояния от точки до прямой длина перпендикуляра MN равна расстоянию от середины отрезка АО до прямой CD.

Так как MN и EF перпендикулярны CD, то MN||EF. Но точка M середина отрезка АО и поэтому MN средняя линия трапеции AOFD. Тогда, по свойству средней линии трапеции

MN = (OF+AD):2 = (OK+KF+BC):2 = (4+4+12):2 = 20:2 = 10 см (ответ А).

Теперь дополним предложения, чтобы образовалось правильное утверждение:

1. Длина стороны ВС равна 12 см.

2. Длина отрезка ОС равна 4√5 см.

3. Расстояние от середины отрезка АО до прямой CD равно 10 см.

#SPJ1