Verified answer

Ответ:

Длина отрезка АВ равна 15,5 ед.

Пошаговое объяснение:

Дан четырёхугольник ABCD, в котором AD∥BC. Биссектриса угла A пересекает сторону CD в точке X, а продолжение стороны BC за точку C - в точке Y. Оказалось, что ∠AXC=90∘

Найдите длину отрезка AB, если известно, что AD=17 и CY=14.

Дано: ABCD - четырёхугольник;

AD || BC;

AY - биссектриса ∠А;

∠AXC=90°;

AD = 17; CY = 14.

Найти: АВ.

Решение.

Проведем ВК || CD.

1. Рассмотрим ΔABY.

∠1 = ∠2 (AY - биссектриса)

∠3 = ∠2 (накрест лежащие при BY || AD и секущей AY)

⇒∠1 = ∠3

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ ΔABY - равнобедренный.

АВ = BY

CD ⊥ AY (условие); ВК || CD (построение)

• Если отрезок перпендикулярен одной из параллельных прямых, то он перпендикулярен и к другой прямой.

⇒ BO ⊥ AY

⇒ ВО - высота

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

⇒ АО = ОY.

2. Рассмотрим ΔАВК.

АО - биссектриса.

BК ⊥ AY (п.1)

⇒ АО - высота.

• Если в треугольнике высота является биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ АО - медиана;

⇒ ВО = ОК.

3. Рассмотрим ΔАОК и ΔВОY - прямоугольные.

АО = ОY (п.1)

ВО = ОК (п.2)

ΔАОК = ΔВОY (по двум катетам)

⇒ BY = AK (как соответственные элементы)

4. Рассмотрим ВСDK.

ВС || KD (условие)

ВК || CD (построение)

⇒ ВСDK - параллелограмм (по определению).

Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ ВС = KD

5. Пусть ВС = KD = х

BY = AK (п.3)

или

х + 14 = 17 - х

2х = 3

х = 1,5

⇒ АВ = BY = 1,5 + 14 = 15,5

Длина отрезка АВ равна 15,5 ед.

#SPJ1