Задано вписаний чотирикутник ABCD. Нехай H проекція точки А на ВС, а E- точка, симетрична точці А відносно ВС. Точку N обрано на стороні СD, а точку L на описаному колі трикутника АВН таким чином, що HL || EN. Доведіть, що пряма ВL проходить через центр описаного кола трикутника ADN
Answers & Comments
Verified answer
Оскільки HL || EN, ми можемо використовувати властивості подібності трикутників. Позначимо за \( O \) центр описаного кола трикутника \( ADN \), а \( M \) - середину сторони \( AD \).Трикутники \( AHN \) та \( ALE \) подібні, оскільки вони мають дві пари пропорційних кутів (прямий кут та кути \( AHN \) та \( ALE \)). Отже, \( \frac{AH}{AE} = \frac{AN}{AL} \).
Трикутники \( ADN \) та \( ALE \) також подібні, оскільки вони мають дві пари пропорційних кутів (прямий кут та кути \( ADN \) та \( ALE \)). Отже, \( \frac{AN}{AL} = \frac{AD}{AE} \).
Об'єднавши ці дві рівності, отримаємо:
\[ \frac{AH}{AE} = \frac{AN}{AL} = \frac{AD}{AE} \]
Скасувавши \( AE \) з усіх частин рівності (оскільки це не нуль), отримаємо:
\[ AH = AN = AD \]
Таким чином, точки \( H \), \( N \), \( D \) лежать на колі з центром \( A \) та радіусом \( AD \).
Тепер, оскільки пряма \( HL \) паралельна \( EN \) і обидві лежать на колі, \( EN \) є діаметром цього кола. Отже, \( H \) - середина \( EN \), і відрізок \( HL \) також є радіусом цього кола.
Звідси випливає, що пряма \( HL \) проходить через центр описаного кола трикутника \( ADN \), а це і було доведено.
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Для доведення цієї твердження спростимо ситуацію крок за кроком:Розглянемо трикутник ABC та його середину - точку H.Так як E - точка, симетрична точці A відносно ВС, то лінія AE буде перпендикулярною до ВС, а отже, AE буде медіаною трикутника ABC.Розглянемо трикутник AEN. Ми знаємо, що AE є медіаною, тому точка L, яка лежить на ВN, буде середньою точкою сторони AN трикутника AEN.Оскільки HL || EN, ми можемо використовувати теорему про подібність трикутників. За цією теоремою, ми можемо сказати, що трикутники ALE та HLB подібні.Оскільки трикутники ALE та HLB подібні, то ми можемо записати співвідношення між їхніми сторонами:AE / HL = AL / LBМи знаємо, що AE є медіаною, тобто AL = LB. Тому співвідношення можна записати так:AE / HL = 1Оскільки AE є медіаною, то точка E також є центроїдом трикутника ABC. Центроїд ділить медіану у співвідношенні 2:1. Тобто, AE = 2 * EH.Ми знаємо, що HL || EN, тому кути HLE та ENB спільні. Це означає, що трикутники ALE та ENB подібні.Оскільки трикутники ALE та ENB подібні, ми можемо записати співвідношення між їхніми сторонами:AE / EN = AL / NBМи вже знаємо, що AE = 2 * EH, тому можемо записати:2 * EH / EN = AL / NBАле AL = LB, тобто AL / LB = 1, тому ми маємо:2 * EH / EN = 1Отже, EH = EN. Це означає, що точки E, H і N лежать на одній прямій.Тепер розглянемо трикутник ADN. Знаючи, що EH = EN і HL || EN, ми можемо вважати, що HL || EH. Оскільки EH - медіана трикутника ABC, то HL також є медіаною трикутника ABC.Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка є центроїдом трикутника. Отже, точка L - центроїд трикутника ABC.Оскільки L є центроїдом трикутника ABC, то пряма BL проходить через центроїд трикутника ADN.Таким чином, пряма BL проходить через центр описаного кола трикутника ADN.Це доводить ваше твердження.