Ответ:

Периметр сечения:

[tex]P_{ACK}=m(\sqrt{2}+\sqrt{5})[/tex]

Площадь сечения:

[tex]S_{ACK}=\dfrac{m^2\sqrt{6}}{4}[/tex]

Объяснение:

Пусть К - середина ребра ВВ₁.

Точки А, С и К можно соединить, так как каждая пара этих точек лежит в одной грани.

АСК - сечение, периметр и площадь которого надо найти.

Если m - длина ребра куба, то

АС = m√2.

ΔКВА:  ∠КВА = 90°, по теореме Пифагора

[tex]KA=\sqrt{KB^2+AB^2}=\sqrt{\left(\dfrac{m}{2}\right)^2+m^2}=\sqrt{\dfrac{m^2}{4}+m^2}=\dfrac{m\sqrt{5}}{2}[/tex]

ΔКВА = ΔКВС по двум катетам (АВ = ВС как ребра куба, ВК - общий катет),

[tex]KC = KA = \dfrac{m\sqrt{5}}{2}[/tex]

Периметр сечения:

[tex]P_{ACK}=m\sqrt{2}+2\cdot \dfrac{m\sqrt{5}}{2}=m\sqrt{2}+m\sqrt{5}[/tex]

[tex]\boldsymbol{P_{ACK}=m(\sqrt{2}+\sqrt{5})}[/tex]

Если О - точка пересечения диагоналей квадрата, то ВО⊥АС,

ВО - проекция КО на плоскость основания, тогда и КО⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.

КО - высота треугольника АСК.

ΔКВО:  ∠КВО = 90°,

[tex]BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{m\sqrt{2}}{2}[/tex]

по теореме Пифагора:

[tex]KO=\sqrt{KB^2+BO^2}=\sqrt{\left(\dfrac{m}{2}\right)^2+\left(\dfrac{m\sqrt{2}}{2}\right)^2}=[/tex]

[tex]=\sqrt{\dfrac{m^2}{4}+\dfrac{2m^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3m^2}{4}}[/tex]

[tex]KO=\dfrac{m\sqrt{3}}{2}[/tex]

Площадь сечения:

[tex]S_{ACK}=\dfrac{1}{2}AC\cdot KO[/tex]

[tex]\boldsymbol{S_{ACK}}=\dfrac{1}{2}\cdot m\sqrt{2}\cdot \dfrac{m\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{=\dfrac{m^2\sqrt{6}}{4}}[/tex]