Ответ:

Для доведення, що промінь AD є бісектрисою кута ВАС, ми можемо використати властивості рівнобедреного трикутника та теорему про бісектрису.

1. Оскільки AD = AB, то трикутник ABD є рівнобедреним.

2. Оскільки СЕ = СВ, то трикутник СЕВ є рівнобедреним.

3. Оскільки АВС - прямокутний трикутник, то кут ВАС = 90°.

4. Оскільки трикутники ABD і СЕВ є рівнобедреними, то кути ДАВ і ВЕС є рівними.

5. Оскільки кут ВАС = 90° і кути ДАВ і ВЕС є рівними, то промінь AD є бісектрисою кута ВАС.

Тепер знайдемо кути та периметр трикутника АВС.

Оскільки ТК = ТС (з доведення перпендикулярності прямих ТС і АВ), то ТКС - рівнобедрений трикутник.

Оскільки ТКС - рівнобедрений трикутник, то кути ТКС і ТСК є рівними.

Оскільки ТКС - прямокутний трикутник, то кут ТКС + кут ТСК + кут ТСК = 180°.

Замінимо значення кутів:

90° + кут ТСК + кут ТСК = 180°.

Зведемо подібні кути:

2 * кут ТСК = 180° - 90°.

Розв'яжемо рівняння:

2 * кут ТСК = 90°.

Поділимо обидві частини на 2:

кут ТСК = 45°.

Оскільки кути ТСК і ТКС є рівними, то кожен з них дорівнює 45°.

Так як кут ВАС = 90°, то кути ВАТ і САТ є доповнюючими до 90°.

Знайдемо кути ВАТ і САТ:

кут ВАТ = 90° - кут ТСК = 90° - 45° = 45°.

кут САТ = 90° - кут ТКС = 90° - 45° = 45°.

Отже, всі кути трикутника АВС дорівнюють 45°.

Тепер знайдемо периметр трикутника АВС.

Оскільки ТК = ТС (з доведення перпендикулярності прямих ТС і АВ), то ТКС - рівнобедрений трикутник.

Оскільки ТКС - рівнобедрений трикутник, то ТК = ТС.

Оскільки ТКС - прямокутний трикутник, то за теоремою Піфагора:

ТК^2 + ТС^2 = ТСК^2.

Підставимо значення:

ТК^2 + ТК^2 = ТСК^2.

Зведемо подібні частини:

2 * ТК^2 = ТСК^2.

Замінимо значення:

2 * ТК^2 = (ТК + ТС)^2.

Розкриємо дужки:

2 * ТК^2 = ТК^2 + 2 * ТК * ТС + ТС^2.

Зведемо подібні частини:

ТК^2 = 2 * ТК * ТС + ТС^2.

Перенесемо все в одну частину:

ТК^2 - 2 * ТК * ТС - ТС^2 = 0.

Розкриємо дужки:

ТК^2 - 2 * ТК * ТС + ТС^2 - ТС^2 = 0.

Зведемо подібні частини:

(ТК - ТС)^2 - ТС^2 = 0.

Замінимо значення:

(ТК - ТС)^2 = ТС^2.

Візьмемо квадратний корінь обох частин:

ТК - ТС = ТС.

Додамо ТС до обох частин:

ТК = 2 * ТС.

Тепер знаємо, що ТК = 2 * ТС.

Оскільки ТК = ТС (з доведення перпендикулярності прямих ТС і АВ), то можемо записати:

ТС = 2 * ТС.

Поділимо обидві частини на 2:

1 = 2.

Отримали суперечність. Таким чином, неможливо знайти таке значення DE, при якому промінь AD буде бісектрисою кута ВАС.

Отже, не можна знайти кути та периметр трикутника АВС, якщо DE = 18 см.