Аня нарисовала квадрат ABCD. Затем она построила равносторонний треугольник ABM ...

July 2022 1 15 Report

Аня нарисовала квадрат ABCD. Затем она построила равносторонний треугольник ABM
так, что вершина M оказалась внутри квадрата. Диагональ AC пересекает треугольник в точке
K. Докажите, что CK = CM.

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Очевидно что вершина $M$ будет симметрична относительно сторона $AD;BC$ , и будет лежать на одной прямой с точкой пересечения диагоналей. Положим что сторона квадрата равна $x$ .
Так как треугольник $ABM$ - равносторонний , следует что $MBC=90а-60а=30а$ , $BCK= \frac{90а}{2}=45а$ .
$AM=BM=x$
$BK=x*\frac{sin45а}{sin(180а-45а-30а)}=(\sqrt{3}-1)x$
Тогда $MK=x-BK=x(2-\sqrt{3})$
$BH=\frac{2x}{\sqrt{3}}\\
HC=\frac{x}{\sqrt{3}}$
то есть $HM=BH-x=\frac{x(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$
откуда $CM=\sqrt{2-\sqrt{3}}x$

Теперь положим что $CK=CM$ верно , тогда должно выполнятся условие $KCM+MCH=45а$

найдем эти углы
по теореме косинусов подставим известные величины
$MK^2=2CK^2-2CK^2*cosKCM\\
HM^2=CK^2+HC^2-2*CK*HC*cosMCH$
откуда

$KCM+MCH=arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+arccos(\frac{1}{2*\sqrt{2-\sqrt{3}}}) =30а+15а=45а
 
 
$
то есть условия выполняются , то есть наше изначальное предположение было верно
$CK=CM$

0 votes Thanks 1

Answers & Comments

Verified answer

iz dannogo spiska vyberite slovoformy v sostave kotoryh est nulevoj formoobraz12267819e2e824b2dd17076f39992f9c 64877

v ryad vypisany v poryadke vozrastaniya chisla delyashiesya na 9 9 18 27 36 poa3b8636c863f9a8d4666e8d7dbb99f26 54844

dva prepodavatelya poluchili dva odinakovyh nabora ekzamenacionnyh biletov napisaaddce900efc8e5d96bb40f4458851b78 54181

sostavte uravnenie pryamoj prohodyashej cherez tochku 26 i nachalo koordinat

java dano chislo n s nachala sutok proshlo n minut opredelite skolko chasov i mi

najdite naibolshee vozmozhnoe znachenie x esli a2 x2 x i a3 a2 3a

java ulitka polzyot po vertikalnomu shestu vysotoj h metrov podnimayas za den n

postroim posledovatelnost strok po sleduyushemu algoritmu pervaya stroka sostoit

iz dannogo spiska vyberite slovoformy v sostave kotoryh est nulevoj formoobraz

kak izvestno aristotel yavlyaetsya avtorom eticheskih proizvedenij on issledoval633a7726de9e7b294dd70031f0ed8a39 44835

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social