Теорема. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.
Доказательство. Пусть а > b и с > d, причем числа а, b, с и d положительны. Докажем, что aс > bd.
Умножив неравенство а > b почленно на положительное число с, получим ас > bc. Умножив затем неравенство с > d почленно на положительное число b, получим bc > bd. Теперь имеем: ас > bc, a bc > bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств (§ 10) должно быть ас > bd.
Аналогично может быть рассмотрен случай, когда a < b и c < d.
Примеры:
Следствие 1. Если а > b, причем числа а и b положительны, то для любого натурального п
аn > bn.
Действительно, умножая почленно неравенство а > b само на себя, получим а2 > b2. Умножая затем почленно полученное неравенство на исходное неравенство а > b, получим а3 > b3 и т. д.
Следствие 2. Если числа а и b положительны и
аn > bn (1)
(п — натуральное число), то а > b.
Действительно, возможен один из трех случаев: а = b, a < b и а > b. Если а = b, то аn = bn. При а < b мы имели бы b > а, и потому по следствию 1 bn > аn . И то и другое противоречит неравенству (1). Остается признать, что а > b.
Пример. Определить, какое число больше: √5 + √6 или √3 + √8 .
Answers & Comments
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I
§ 12 Почленное умножение неравенств
Теорема. Неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.
Доказательство. Пусть а > b и с > d, причем числа а, b, с и d положительны. Докажем, что aс > bd.
Умножив неравенство а > b почленно на положительное число с, получим ас > bc. Умножив затем неравенство с > d почленно на положительное число b, получим bc > bd. Теперь имеем: ас > bc, a bc > bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств (§ 10) должно быть ас > bd.
Аналогично может быть рассмотрен случай, когда a < b и c < d.
Примеры:
Следствие 1. Если а > b, причем числа а и b положительны, то для любого натурального п
аn > bn.
Действительно, умножая почленно неравенство а > b само на себя, получим а2 > b2. Умножая затем почленно полученное неравенство на исходное неравенство а > b, получим а3 > b3 и т. д.
Следствие 2. Если числа а и b положительны и
аn > bn (1)
(п — натуральное число), то а > b.
Действительно, возможен один из трех случаев: а = b, a < b и а > b.
Если а = b, то аn = bn.
При а < b мы имели бы b > а, и потому по следствию 1 bn > аn . И то и другое противоречит неравенству (1).
Остается признать, что а > b.
Пример. Определить, какое число больше: √5 + √6 или √3 + √8 .
Возвысим оба числа в квадрат:
(√5 + √6 )2 = 5 + 2√30 + 6 = 11 + 2√30 ;
(√3 + √8 )2 = 3 + 2√24 + 8 = 11 + 2√24
Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как эти числа положительны, то по следствию 2
√5 + √6 > √3 + √8 :
Упражнения
93. Любые ли два неравенства одинакового смысла можно почленно умножить? (Рассмотрите пример: 3 > — 10 и — 2 > — 7.)
94. а) Всегда ли из а > b вытекает, что аn > bn ? Ответ пояснить примерами.
б) Следует ли из аn < bn, что а < b? Ответ пояснить примерами.
В задачах № 95—102 сравнить данные числа, то есть выяснить, какое из них больше и какое меньше:
95. √2 + √3 и √7 . 99*. 3√2 + 3√4 и 3√26?
96. √5 + √3 и √6 + √2 100. (1 + √5)100 и 3100.
97. √11 — √10 и √6 — √5 . 101. (√7 +√2)9 и 49.
98. √8 — √15 и 1/2(√30 — √2 ) 102. (√5 —√3)51 и (√6 —√2)51
ОТВЕТЫ ТОЛЬКО ТАК