В трапеции АВСД диагонали пересекаются в т.О. Площади треугольников ВОС и АОD равны 4 см² и 9 см² соответственно. Найдите площадь трапеции АВСD.
------- Подробное решение.
Основания трапеции параллельны, диагонали трапеции - секущие при них =>
Накрестлежащие углы в треугольниках ВОС и АОД равны. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
∆ ВОС ~ ∆ АОD .
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия их линейных элементов.
S(BOC):S (AOD)= k²=4/9 =>
k=√4/9=2/3 =>
ОС: АО=2/3
Рассмотрим ∆ ВСО и ∆ АВО
Они имеют общую высоту ВН, а отношение их оснований ВС:АО=2/3 Отношение площадей треугольников с равной высотой равно отношению их оснований.
S (BOC):S(BOA)=OC:OA=2/3=>
S (AOВ)=4:2/3=6 см²
S ∆ ABC=S(AOB)+S(BOC)=6+4=10 см²
Треугольники, образованные боковыми сторонами трапеции и частями диагоналей, - равновелики.
Answers & Comments
Verified answer
В трапеции АВСД диагонали пересекаются в т.О. Площади треугольников ВОС и АОD равны 4 см² и 9 см² соответственно. Найдите площадь трапеции АВСD.
------- Подробное решение.
Основания трапеции параллельны, диагонали трапеции - секущие при них =>
Накрестлежащие углы в треугольниках ВОС и АОД равны. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
∆ ВОС ~ ∆ АОD .
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия их линейных элементов.
S(BOC):S (AOD)= k²=4/9 =>
k=√4/9=2/3 =>
ОС: АО=2/3
Рассмотрим ∆ ВСО и ∆ АВО
Они имеют общую высоту ВН, а отношение их оснований ВС:АО=2/3 Отношение площадей треугольников с равной высотой равно отношению их оснований.
S (BOC):S(BOA)=OC:OA=2/3=>
S (AOВ)=4:2/3=6 см²
S ∆ ABC=S(AOB)+S(BOC)=6+4=10 см²
Треугольники, образованные боковыми сторонами трапеции и частями диагоналей, - равновелики.
S (COD)=S(AOC)=6 см²
S (ACD)=S(AOD)+S(COD)=9+6=15 см²
S (ABCD)=S(ABC)+S(ACD)=25 см²