Verified answer

Проведем перпендикуляр ОН  к прямой А1Д, АД он будет пересекать в пункте М, М - середина АД (это можно доказать следоющим образом : АД1 // МО ( угол ДКА = углу ДНМ = 90 град ( НО - перпендикуляр , а диогонали квадрата  АД1 и А1Д пересекаются под примым углом), а если пункт О - середина ДД1, то МО - средняя линия тр. АДД1 и значит М - середина АД)

Соеденим пункты М, Т и О и получим сечение МТО перпендикулярное плоскости А1ДС

АД = ДД1 = 4 см ( по условию)

Найдем диогональ АД1 по т. Пифагора из прямоугольного тр. АДД1:

AД1^2 = AД^2 +ДД1^2

AД1^2 = 4^2 + 4^2

AД1^2= 32

АД1 = 4 под корнем 2

АД1 = АС = Д1С = 4 под корнем 2 (диогонали равных квадратов)

МО, МТ и ТО - средние линии треугольников АДД1, АДС и ДД1С соответственно

МО = АД1/ 2 = 2 под корнем 2

МТ = АС/ 2 = 2 под корнем 2

ТО = Д1С/ 2 = 2 под корнем 2

МТО - ровносторонний треугольник

Площадь МТО ровна ( см во вложении), где а- сторона этого треугольника.

Ответ: 2 корень из 2 см^2