Ответ:

16b + 16

Пошаговое объяснение:

(64b² + 128b + 64)/b : (4/b + 4)

1) (64b² + 128b + 64)/b = (8b + 8)²/b
2) 4/b + 4 = (4b+ 4) / b

3) (8b+8)²/b * b/4b+4 = (8b + 8)²/4b + 4

4) (8(b+1))²/4(b+1) = 64(b+1)²/4(b+1)

5) 64(b+1)²/4(b+1) = 16b + 16
P.S. "когда они упрощают второе выражение, получается 4(1+b) / b , а у меня получается то же, но без знаменателя. откуда он там взялся?"
когда у нас 4/b + 4 нужно привести к общему знаменателю, то есть 4 нужно умножить на b. Имеем: 4/b + 4b/b = 4b+4/b выносим 4 за скобки:
4(b+1)/b

Verified answer

Ответ:

[tex]16b+16.[/tex]

Пошаговое объяснение:

Решим данное выражение по действиям. Для начала определим их порядок.

[!] Порядок действий при вычислениях (внутри скобок данный порядок сохранятется):

  [1] Действия в скобках;

  [2] Умножение/деление по порядку (слева направо);

  [3] Сложение/вычитание по порядку (слева направо).

Значит, порядок действий будет таков (сначала вычисления в скобках, затем деление):

                 ②    ①

[tex]\frac{64b^{2}+128b+64 }{b} :(\frac{4}{b} +4)=[/tex]

➊

Первым действием нам нужно сложить дробь и число. Для простоты представим наше число как дробь со знаменателем 1:

[tex]\frac{4}{b} +4 = \frac{4}{b} +\frac{4}{1}[/tex]

Далее, нам нужно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю. Для этого нам нужно найти НОК (наименьшее общее кратное) чисел [tex]b[/tex] и [tex]1[/tex] (то есть наименьшее число, которое делится на два других без остатка). Таковым будет [tex]b[/tex].

Далее, разделив знаменатели старых дробей на [tex]b[/tex] мы получим дополнительные множители для каждого числителя старых дробей. После этого, мы должны попарно перемножить числители и соответствующие им дополнительные множители, таким образом получив новые числители (для дробей с новыми знаменателями).

В нашем случае, для первой дроби дополнительным множителем будет [tex]b:b=1[/tex], а для второй - [tex]b:1=b[/tex].

Так мы получим следующее:

[tex]\frac{4*1}{b} +\frac{4*b}{b}=\frac{4}{b} +\frac{4b}{b}[/tex]

Теперь, знаменатели у обеих дробей одинаковые, значит мы можем объединить две дроби под одну общую дробную черту:

[tex]=\frac{4+4b}{b}=[/tex]

Далее, в числителе мы можем вынести за скобки общий множитель - [tex]4[/tex]:

[tex]=\frac{4(1+b)}{b}.[/tex]

Итак мы максимально упростили наше первое выражение. Перейдём ко второму.

➋

[tex]\frac{64b^{2}+128b+64 }{b} :\frac{4(1+b)}{b} =[/tex]

Итак, нам нужно поделить одну дробь на другую.

Вспомним, что деление - это действие обратное умножению. Значит, деление какого-либо числа на дробь мы можем заменить умножением на взаимно обратную дробь нашей изначальной дроби (проще говоря на "перевёрнутую", то есть дробь, в которой мы поменяли местами числитель и знаменатель).

Например: [tex]\alpha :\frac{x}{y} = \alpha *\frac{y}{x}[/tex].

В нашем случае, "перевернём" дробь [tex]\frac{4(1+b)}{b}[/tex] и деление заменим умножением. Получим следующее:

[tex]= \frac{64b^{2}+128b+64 }{b} *\frac{b}{4(1+b)} =[/tex]

Далее, мы можем объединить эти две дроби в одну, в числителе которой будет произведение числителей старых дробей, а в знаменателе - произведение знаменателей тех же старых дробей, то есть:

[tex]= \frac{(64b^{2}+128b+64) *b}{b*4(1+b)} =[/tex]

Здесь мы видим, что и в числителе есть множитель [tex]b[/tex], и в знаменателе есть точно такой же множитель [tex]b[/tex]. Поэтому, мы можем их сократить (убрать), так как они равны и при делении друг на друга выходит единица. Это можно записать вот так:

[tex]= \frac{(64b^{2}+128b+64) }{4(1+b)} *\frac{b}{b} =\frac{(64b^{2}+128b+64) }{4(1+b)} *1 =\frac{(64b^{2}+128b+64) }{4(1+b)}=[/tex]

(от перестановки мест множителей произведение не меняется, поэтому спокойно можем поменять местами  [tex]4[/tex] и [tex]b[/tex], чтобы было понятнее)

Далее, в числителе мы можем вынести общий множитель 64:

[tex]=\frac{64(b^{2}+2b+1) }{4(1+b)}=[/tex]

Сократим [tex]64[/tex] и [tex]4[/tex] ([tex]64:4=16[/tex], значит в числителе останется [tex]16[/tex], а в знаменателе - 1).

[tex]=\frac{64(b^{2}+2b+1) }{4(1+b)}=\frac{16(b^{2}+2b+1) }{1(1+b)}=\frac{16(b^{2}+2b+1) }{(1+b)}=[/tex]

В числителе мы видим квадратный трёхчлен. Попробуем разложить его на множители.

________________________________________________________

Для этого приравняем его к нулю и найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

[tex]b^{2} +2b+1=0;[/tex]

[tex]a=1; p=2; q=1;[/tex]

[tex]D=p^{2} -4aq;[/tex]

[tex]D=2^{2} -4*1*1=4-4=0[/tex]

Так как [tex]D=0[/tex], то квадратное уравнение имеет 1 корень.

[tex]b=\frac{-p+-\sqrt{D} }{2a};[/tex]

[tex]b=\frac{-2+-\sqrt{0} }{2*1} =\frac{-2+-0}{2} =\frac{-2}{2} = -1.[/tex]

Теперь, разложим наш квадратный трёхчлен на множители по следующей формуле:

[tex]ax^{2} +px+q=a(b-b_{1} )(b-b_{2} );[/tex]

[tex]b_{1}[/tex] и [tex]b_{2}[/tex] - корни квадратного уравнения.

Так как корень в нашем уравнении один, то [tex]b_{1}[/tex] и [tex]b_{2}[/tex] будут совпадать, то есть: [tex]b_{1} =b_{2} =b;[/tex]

Значит:

[tex]b^{2} +2b+1=1(b-(-1)(b-(-1)=(b+1)(b+1).[/tex]

________________________________________________________

Теперь, квадратный трёхчлен заменим на разложенный на множители, получим:

[tex]=\frac{16(b+1)(b+1)}{(1+b)} =[/tex]

Сократим [tex](b+1)[/tex] и [tex](1+b)[/tex]:

[tex]=\frac{16(b+1)}{1} =16(b+1) = 16b+16.[/tex]

__________
Удачи Вам! :)