Відповідь:

Щоб знайти екстремуми функції f(x) = x^2 - 54/x, спочатку знайдемо похідну функції і прирівняємо її до нуля, а потім знайдемо відповідні значення x.

1. Знайдемо похідну f'(x):

f'(x) = 2x + 54/x^2

2. Прирівняємо f'(x) до нуля і розв'яжемо рівняння:

2x + 54/x^2 = 0

Можемо помножити обидві частини на x^2, щоб позбутися від знаменника:

2x^3 + 54 = 0

3. Віднімемо 54 з обох боків:

2x^3 = -54

4. Поділимо обидві частини на 2:

x^3 = -27

5. Виконаємо кубічний корінь обох боків:

x = -3

Отже, єдиний критичний точкою цієї функції є x = -3. Щоб з'ясувати, чи є це локальний мінімум чи максимум, ми можемо використовувати другу похідну або тестування в точках до та після критичної точки. Враховуючи графік функції, ми бачимо, що функція має локальний мінімум при x = -3.

Отже, екстремум функції f(x) = x^2 - 54/x є локальний мінімум при x = -3.