[1]   [tex]b_{9} =24;[/tex]    [tex]b_{6} =-\frac{1}{9};[/tex]   [tex]q-?[/tex]

Формула n-ого члена геометрической прогрессии: [tex]b_{n}={b_{1}q^{n-1}[/tex]

Распишем для [tex]b_{6}[/tex] и [tex]b_{9} .[/tex]

[tex]b_{6}={b_{1}q^{5}}\\b_{9}={b_{1}q^{8}}[/tex]

Составляем систему, чтобы выразить q (знаменатель геом.пр.) :

[tex]\left \{ {{b_{6}={b_{1}q^{5} } \atop {b_{9}={b_{1}q^{8}}} \right.[/tex]

Решаем:

[tex]\left \{ {{-\frac{1}{9} ={b_{1}q^{5} } \atop {24={b_{1}q^{8}}} \right.[/tex]      делим первое уравнение системы на второе, получаем:

[tex]\frac{1}{q^3} =\frac{-\frac{1}{9} }{24} = > q=-6.[/tex]

[2]   [tex]b_{2} +b_{4} =45[/tex]

[tex]\\b_{2} * b_{4} =324[/tex]

[tex]\\b_{1} -?[/tex]

Составим и решим систему, чтобы получить значения [tex]b_{2}[/tex] и [tex]b_{4}[/tex] :

[tex]\left \{ {{b_{2} +b_{4} =45} \atop {b_{2} * b_{4} =324}} \right.[/tex]      [tex]\left \{ {{b_{2}=45-b_{4} } \atop {b_{2} * b_{4} =324}} \right.[/tex]

[tex](45-b_{4} )b_{4} =324\\b_{4} ^2-45b_{4} +324=0\\[/tex]

Получаем корни:

[tex]\\b_{4} =9[/tex] или [tex]\\b_{4} =36.[/tex]

Находим [tex]b_{2}[/tex] :

Так как [tex]b_{2}=45-b_{4}[/tex], то:

[tex]b_{2}=45-9=36[/tex] или [tex]b_{2}=45-36=9.[/tex]

Заметим: что в [tex]b_{4}[/tex], что в [tex]b_{2}[/tex] - выходят одинаковые значения (36 и 9). От перестановки слагаемых сумма не меняется. Поскольку у нас возрастающая прогрессия, возьмем за [tex]b_{4}=36[/tex], а за [tex]b_{2}=9.[/tex]

Чтобы найти первый член прогрессии, находим ещё [tex]b_{3}[/tex] и [tex]q[/tex] :

Формула: [tex]b_{n}=\sqrt{b_{n+1}b_{n-1}} \\[/tex]

Решение: [tex]b_{3}=\sqrt{36+9} =3*6=18.[/tex]

[tex]q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}} =\frac{b_{3}}{b_{2}} =2.[/tex]

И теперь мы можем с помощью формулы n-ого члена геометрической прогрессии: [tex]b_{n}={b_{1}q^{n-1}[/tex], вывести первый член прогрессии. Значит:

[tex]b_{2}={b_{1}q}\\9={b_{1}*2}\\b_{1}=4,5.[/tex]