Формулы n-ого члена геометрической прогрессии:

[tex]b_n=b_1q^{n-1}[/tex]

[tex]b_n=b_kq^{n-k}[/tex]

При умножении n-ого члена на k-ую степень знаменателя получим член прогрессии с номером (n+k):

[tex]b_nq^k=b_{n+k}[/tex]

По условию известно:

[tex]b_{22}=2\,\mathrm{tg}\,a[/tex]

[tex]b_{26}=2\sin a[/tex]

Тогда:

[tex]b_{26}=b_{22}q^4[/tex]

[tex]2\sin a=2\,\mathrm{tg}\,a\cdot q^4[/tex]

Распишем тангенс как отношение синуса к косинусу:

[tex]2\sin a=\dfrac{2\sin a}{\cos a} \cdot q^4[/tex]

Учитывая, что члены геометрической прогрессии - ненулевые числа, разделим обе части равенства на [tex]2\sin a[/tex]:

[tex]1=\dfrac{1}{\cos a} \cdot q^4[/tex]

Получим:

[tex]q^4=\cos a[/tex]

Теперь рассмотрим член, номер которого нужно найти:

[tex]b_n=\sin2a[/tex]

Распишем по формуле синуса двойного угла:

[tex]b_n=2\sin a\cos a[/tex]

Заметим, что [tex]2\sin a=b_{26}[/tex], а [tex]\cos a=q^4[/tex]. Тогда:

[tex]b_n=b_{26}q^4=b_{26+4}=b_{30}[/tex]

Таким образом, номер искомого члена равен 30.

Ответ: 30