Решить уравнения: 1) 1/√3*sin x = 1/2; 2) 4sin x*cos x + 3cos x = 0; 3) 2cos^2 x = 1 + sin x.

Ответ:

Решения уравнений:

1) x₁=π/3+2πn, n ∈ Z; x₂=2π/3+2πn, n ∈ Z.

2) x₁=π/2+πn, n ∈ Z; x₂=(-arcsin 3/4)+2πn, n ∈ Z; x₃=π+arcsin 3/4+2πn, n ∈ Z.

3) х₁=3π/2+2πn, n ∈ Z; x₂=π/6+2πn, n ∈ Z; x₃=5π/6+2πn, n ∈ Z.

Объяснение:

Для начала вспомним формулы для решения уравнений вида sin x = b и cos x = b:

[tex]\displaystyle \text{If}\ \sin x=b,\ |b|\leq 1,\ \text{then:}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Big| \ \ \ \ \text{If}\ \cos x=b,\ |b|\leq 1,\ \text{then:}\\\\ \left [ \begin{array}{ccc} x=\arcsin b+2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ x=\pi-\arcsin b+2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right \ \ \ \ \ \Big| \ \ \ \ x=\pm\arccos\ b+2\pi n,\ n\in \mathbb Z[/tex]

1) 1/√3*sin x = 1/2

• Переносим 1/√3 вправо

sin x = 1/2 : 1/√3

sin x = (1*√3)/(2*1)

sin x = √3/2

• Подставляем в вышеуказанную формулу для решения уравнения вида sin x = b и решаем:

[tex]\displaystye\left [ \begin{array}{ccc} x=\arcsin \frac{\sqrt{3} }{2} +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ x=\pi-\arcsin \frac{\sqrt{3} }{2} +2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right \Longrightarrow \left [ \begin{array}{ccc} x= \frac{\pi }{3} +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ x=\pi- \frac{\pi }{3} +2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right \Longrightarrow[/tex]

[tex]\displaystyle \Longrightarrow \left [ \begin{array}{ccc} x= \frac{\pi }{3} +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ x=\frac{2\pi }{3} +2\pi n, n\in \mathbb Z\ \ \ \ \end{array}\right[/tex]

2) 4sin x*cos x + 3cos x = 0

• Выносим общий множитель cos x за скобки:

cos x(4sin x + 3)=0

• Если произведение равно нулю, один из множителей равен нулю. Решаем два уравнения.

cos x = 0                  4sin x + 3 = 0

• Решение первого уравнения это x = π/2+πn, n ∈ Z (т.к. это частный случай). Решаем второе уравнение:

4sin x = -3

sin x = -3/4

[tex]\displaystyle \left [ \begin{array}{ccc} x= \arcsin\left(-\frac{3 }{4}\right) +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \ \ \ \ \\\\ x=\pi -\arcsin\left(-\frac{3 }{4}\right) +2\pi n, n\in \mathbb Z\ \ \ \ \end{array}\right \Longrightarrow \left [ \begin{array}{ccc} x= -\arcsin\frac{3 }{4} +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \ \ \ \ \\\\ x=\pi +\arcsin\frac{3 }{4} +2\pi n, n\in \mathbb Z\ \ \ \ \end{array}\right[/tex]

3) 2cos^2 x = 1 + sin x

• Воспользуемся формулой понижения степени cos^2 α=(1+cos 2α)/2.

2*(1+cos 2x)/2 = 1 + sin x

1 + cos 2x = 1 + sin x

• Единицы справа и слева сокращаем, имеем:

cos 2x = sin x

• По формуле двойного угла cos 2α = 1 - 2sin²α расписываем cos 2x.

1 - 2sin²x - sin x = 0 | *(-1)

2sin²x + sin x - 1 = 0

• Вводим замену:  

sin x = v, v ∈ [-1;1].

2v²+v-1=0

D=b²-4ac=1²-4*(-1)*2=1+8=9

[tex]\displaystyle \\\\v_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a} =\frac{-1\pm\sqrt{9} }{2\cdot2} \\\\v_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2} \in [-1;1]\\\\ v_2=\frac{-1-3}{4}=(-1) \in [-1;1][/tex]

• Возвращаемся к замене:

sin x = (-1)            sin x = 1/2

• Решение первого уравнения это х=3π/2+2πn, n ∈ Z (т.к. это частный случай). Решаем второе уравнение.

[tex]\displaystye\left [ \begin{array}{ccc} x=\arcsin \frac{1 }{2} +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ x=\pi-\arcsin \frac{1 }{2} +2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right \Longrightarrow \left [ \begin{array}{ccc} x= \frac{\pi }{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ x=\pi- \frac{\pi }{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z \end{array}\right \Longrightarrow[/tex]

[tex]\displaystyle \Longrightarrow \left [ \begin{array}{ccc} x= \frac{\pi }{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z\:\:\:\:\:\:\:\: \\\\ x=\frac{5\pi }{6} +2\pi n, n\in \mathbb Z\ \ \ \ \end{array}\right[/tex]