Ответ:

2.8.5.

       [tex]\bf \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1+4+7+...+(3n-2)}{\sqrt{5n^4+n+1}}=[/tex]    

В числителе записана сумма членов арифметической прогрессии с разностью  d=3 и первым членом  а₁=1 . Вычислим сумму n членов арифметической прогрессии по формуле  

[tex]\bf S_{n}=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n[/tex]   .

[tex]\bf a_{n}=\dfrac{1+4+7+...+(3n-2)}{\sqrt{5n^4+n+1}}=\dfrac{\dfrac{1+(3n-2)}{2}\cdot n}{\sqrt{5n^4+n+1}}=\dfrac{(3n-1)\cdot n}{2\sqrt{5n^4+n+1}}\ ;\\\\a_{n}=\dfrac{3n^2-n}{2\sqrt{5n^4+n+1}}[/tex]  

[tex]\bf \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1+4+7+...+(3n-2)}{\sqrt{5n^4+n+1}}=\lim\limits _{n \to \infty}\dfrac{3n^2-n}{2\sqrt{5n^4+n+1}}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\dfrac{3n^2}{n^2}-\dfrac{n}{n^2}}{\dfrac{2\sqrt{5n^4+n+1}}{n^2}}=\\=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{3-\dfrac{1}{n}}{\sqrt{5+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{n^4}}}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{\sqrt5}=\dfrac{3}{2\sqrt5}[/tex]

2.8.6.

          [tex]\bf \lim\limits_{n \to \infty}\Big(\dfrac{n-10}{n+1}\Big)^{3n+1}=[/tex]

Применим второй замечательный предел   [tex]\bf \lim\limits_{n \to \infty}\Big(1+\dfrac{1}{n}\Big)^{n}=e[/tex]  .

[tex]\bf =\lim\limits_{n \to \infty}\left(\Big(1+\dfrac{-11}{n+1}\Big)^{\frac{n+1}{-11}}\right)^{\frac{-11(3n+1)}{n+1}}=e^{\lim\limits_{n \to \infty}\frac{-33n-11}{n+1}}}=e^{-33}[/tex]