Призма прямая, значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, а, следовательно, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основании.
СС₁⊥СВ, СС₁⊥АС, значит
∠АСВ - линейный угол двугранного угла при боковом ребре (угол между плоскостями СС₁В и СС₁А), и он равен α.
Утверждение "Один из двугранных углов при боковом ребре призмы равен α" - верное.
2.
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит в точке пересечения биссектрис.
Тогда отрезок СК, проходящий через центр основания, - биссектриса угла АСВ.
Плоскость СС₁К, проходящая через боковое ребро СС₁ и центр окружности, вписанной в основание, делит двугранный угол при ребре основания на два.
∠АСК - линейный угол двугранного угла между плоскостями А₁СС₁ и КСС₁, а ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостями В₁СС₁ и КСС.
Так как ∠АСК = ∠ВСК, то равны и двугранные углы.
То же можно сказать и любом двугранном угле при боковом ребре призмы, он будет разделен такой плоскостью пополам.
Утверждение "Плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы и центр окружности, вписанной в основание, делит двугранный угол при боковом ребре призмы пополам" - верное.
3.
Рассмотрим ΔСОН.
ОН = r, ∠СНО = 90° по свойству радиуса, проведенного в точку касания.
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
Верны утверждения 1, 2 и 4.
Объяснение:
1.
Призма прямая, значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, а, следовательно, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в основании.
СС₁⊥СВ, СС₁⊥АС, значит
∠АСВ - линейный угол двугранного угла при боковом ребре (угол между плоскостями СС₁В и СС₁А), и он равен α.
Утверждение "Один из двугранных углов при боковом ребре призмы равен α" - верное.
2.
Тогда отрезок СК, проходящий через центр основания, - биссектриса угла АСВ.
Плоскость СС₁К, проходящая через боковое ребро СС₁ и центр окружности, вписанной в основание, делит двугранный угол при ребре основания на два.
∠АСК - линейный угол двугранного угла между плоскостями А₁СС₁ и КСС₁, а ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостями В₁СС₁ и КСС.
Так как ∠АСК = ∠ВСК, то равны и двугранные углы.
То же можно сказать и любом двугранном угле при боковом ребре призмы, он будет разделен такой плоскостью пополам.
Утверждение "Плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы и центр окружности, вписанной в основание, делит двугранный угол при боковом ребре призмы пополам" - верное.
3.
Рассмотрим ΔСОН.
ОН = r, ∠СНО = 90° по свойству радиуса, проведенного в точку касания.
∠ОСН = α/2
[tex]ctg\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{OH}{CH}[/tex]
[tex]CH=OH\cdot ctg\dfrac{\alpha}{2}=r\cdot ctg\dfrac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]AC = 2CH=2r\cdot ctg\dfrac{\alpha}{2}[/tex]
Утверждение "Одна из сторон основания призмы равна [tex]r\cdot ctg\dfrac{\alpha}{2}[/tex] неверное.
4.
Рассмотрим ΔАА₁С.
∠А₁АС = 90° (призма прямая)
∠А₁СА = γ по условию (угол между диагональю боковой грани, содержащей основание треугольника АВС, и основанием призмы)
[tex]tg\angle A_1CA=\dfrac{AA_1}{AC}[/tex]
[tex]AA_1=AC\cdot tg\gamma[/tex]
[tex]AA_1=2r\cdot ctg\dfrac{\alpha}{2}\cdot tg\gamma[/tex]
Утверждение "Боковое ребро призмы равно [tex]2r\cdot ctg\dfrac{\alpha}{2}\cdot tg\gamma[/tex]" - верное.