Ответ:

6)Для розв'язання цього рівняння скористаємося формулою для добутку синуса та косинуса двох кутів:

sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB

Застосуємо її двічі, щоб перетворити ліву частину рівняння:

sin 5x cos x - cos 5x sin x = sin(5x + x) - sin(5x - x) = 2*sin(6x) - sin(4x)

Тепер можемо переписати вихідне рівняння:

2*sin(6x) - sin(4x) = -1

Приберемо константу з обох боків:

2*sin(6x) - sin(4x) + 1 = 0

Застосуємо формулу для різниці квадратів синуса та косинуса двох кутів:

sin(2A) = 2*sin(A)*cos(A)

Щоб застосувати її, помітимо, що 6x = 3*(2x) та 4x = 2*(2x):

2sin(32x)cos(2x) - sin(22x) + 1 = 0

Замінимо cos(2x) на 1 - 2*sin^2(x):

2sin(32x)(1 - 2sin^2(x)) - 2*sin^2(x) + 1 = 0

Розкриємо дужки та спростимо:

6sin(2x) - 24sin^3(x) - 2*sin^2(x) + 1 = 0

Розпишемо sin(2x) за формулою sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x):

12sin(x)cos(x) - 24sin^3(x) - 2sin^2(x) + 1 = 0

Перепишемо sin^3(x) як sin(x)*sin^2(x) та замінимо sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

12sin(x)cos(x) - 24sin(x)sin^2(x)(1 - cos^2(x)) - 2(1 - cos^2(x)) + 1 = 0

Розкриємо дужки та спростимо:

24sin^3(x)cos^2(x) + 2cos^2(x) - 24sin^3(x)cos^4(x) + 12sin(x)*cos(x) - 1 = 0

Замінимо sin^2(x) на 1 - cos^2(x) та перепишемо sin^3(x) як sin(x)*sin^2(x):

24sin(x)cos^2(x) - 24sin(x)cos^4(x) + 2cos^2(x) - 24sin^2(x)cos^2(x) + 12sin(x