Баллон емкостью 50 л заполнен водородом при температуре 27 по Цельсию и давлении 4*10^6 Па. Сколько баллонов потребуется для заполнения аэростатом объемом 840 м^3, если при 7 по Цельсию давление в нем должно быть 10^5 Па?
Желательно с приведением формул и объяснением.Заранее спасибо.
Желательно с приведением формул и объяснением.Заранее спасибо.
Answers & Comments
Посчитаем количество вещества ν2, необходимое для заполнения аэростата. По уравнению Клапейрона-Менделеева:
p2*V2 = ν2*R*T2, где
p2 = 10^5 Па – требуемое в аэростате давление;
V2 = 840 м³ – объём аэростата;
R = 8,314 Дж/(моль*К) – универсальная газовая постоянная;
T2 = 7 °C = 280 К – температура водорода в аэростате.
Отсюда:
ν2 = p2*V2/(R*T2) = 10^5 * 840 / (8,314 * 280) ≈ 36084 моль.
Определим, сколько моль водорода содержится в одном баллоне. Это не совсем важно в задаче, но для ориентировки полезно посчитать. По уравнению Клапейрона-Менделеева:
p*V = ν*R*T, где
p = 4*10^6 Па – давление в одном баллоне;
V = 50 л = 0,05 м³ – объём баллона;
R = 8,314 Дж/(моль*К) – универсальная газовая постоянная;
T = 27 °C = 300 К – температура водорода в баллоне.
Отсюда:
ν = p*V/(R*T) = 4*10^6 * 0,05 / (8,314 * 300) ≈ 80,2 моль.
Баллоны смогут отдавать газ до тех пор, пока давление в них не сравняется с давлением в аэростате. Пусть аэростат абсолютно жёсткий, и его объём что после заправки, что на рабочей высоте равен 840 м³. Заправка газом, конечно же, при температуре 27 °C, поэтому при подъёме на рабочую высоту газ изохорно охлаждается. Тогда выполняется закон Шарля: во сколько раз газ охладился (300 К / 280 К = 1,071), во столько же раз упало давление в аэростате.
Раз при его работе в нём давление 10^5 Па, то сразу после заправки должно быть 1,071*10^5 Па. Поправка оказалась не такой большой, но важно понимать, что она имеет место.
Значит баллоны будут "разряжаться" (отдавать водород) до того, пока в них давление не упадёт до 1,071*10^5 Па. То есть оно упадёт на Δp = (4*10^6 - 1,071*10^5) = 3,9*10^6 Па. Тогда отданное одним баллоном количество вещества Δν определим из уравнения Клапйрона–Менделеева:
Δp*V = Δν*R*T
Δν = Δp*V / (R*T) ≈ 78 моль.
Чтобы запихнуть в аэростат все 36084 молей водорода надо взять:
36084 / 78 ≈ 462,4.
Округляем в большую сторону (иначе немного не хватет), то есть потребуется 463 баллона.
К слову, при решении без поправки на падение давления при охлаждении газа в аэростате получится 461,5, т.е. 462 баллона – одного не хватит. Немного, но всё же!