Verified answer

ерез точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость параллельная грани ABC а) докажите что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник подобный треугольнику ABC б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC

Решение.

а)1)Пусть медианы грани (ВDC ) пересекутся в точке М.

Тк плоскости должны быть параллельны , то проведем в ΔВDC через М прямую ТК║ВС , которая лежит в плоскости нижнего основания. Пусть Т∈ВD, К∈СD. В в ΔАВD проведем через Т прямую ТР║АВ , которая лежит в плоскости нижнего основания. Соединим точки Р и К . Сечение ( РТК) ║( АВС) по признаку параллельности двух плоскостей.

2) ΔDTK~ ΔDBC по двум углам :

ТК║ВС , то ∠КТD=∠CBD как соответственные,

∠D-общий.

Значит сходственные стороны пропорциональны :DT/DB=TK/ВС.

3) ΔDPT~ ΔDAB по двум углам :

PТ║AВ , то ∠DPT=∠DAB как соответственные,

∠D-общий.

Значит сходственные стороны пропорциональны : DT/DB=РT/АВ.

4) ΔPTК~ ΔABС по 2 пропорциональным сторонам и равным углам между сторонами:

TK/ВС= РT/АВ, ∠РТК=∠АВС как углы с параллельными сторонами.

б)Тк треугольники подобны то S (ΔPTК)/S( ΔABС)=k².

1)В ΔВDC М- точка пересечения медиан , значит по т о точке пересечения медиан DM/MH= 2/1 или учитывая подобие ΔDTK и ΔDBC , DM/DH=TK/BC=2/3 ⇒ k=2/3.

S (ΔPTК)/S( ΔABС)=4/9