Ответ:

Оскільки висота BD ділить основу АС на відрізки AD та DC у відповідних відношеннях 3:4, то можемо записати:

AD/DC = 3/4

АД = (3/7)·AC

DC = (4/7)·AC

З теореми Піфагора в правильному трикутнику АВС знаходимо довжину АВ:

AB² + BC² = AC²

AB² + AB² = AC²

2AB² = AC²

AB = (1/√2)·AC

Тепер можемо знайти площу трикутника АВС за формулою:

S = (1/2)·AB·BD

S = (1/2)·(1/√2)·AC·BD

S = (1/2)·(1/√2)·AC·(AD+DC)

S = (1/2)·(1/√2)·AC·((3/7)·AC+(4/7)·AC)

S = (3/14)·AC²

З теореми Піфагора маємо:

AC² = AB² + BC² = 2AB²

Отже,

S = (3/14)·2AB² = (3/7)·AB²

Замінимо значення AB²:

S = (3/7)·((1/√2)·AC)²

S = (3/7)·(1/2)·AC²

S = (3/14)·AC²

Отримали ту саму формулу, що й на початку. Отже, площа трикутника АВС дорівнює (3/14)·AC². Щоб знайти її числове значення, потрібно знайти довжину AC, а для цього скористатися теоремою Піфагора:

AB² + BC² = AC²

(1/2)·AC² + (2/√2)·AC² = AC²

(1/2)·AC² = (2-√2)·AC²

AC² = 2/(4-2√2) = 50-20√2

Отже,

S = (3/14)·(50-20√2) ≈ 7.61 (см²) (округлено до сотих)