Биссектриса внешнего угла A пересекает прямую, содержащую среднюю линию треугольника ABC, параллельную стороне AB, в точке X. Найдите ∠XCA, если ∠CAB=54 ∘ .
∠XMA=2∠XCA (внешний угол равен сумме внутренних, не смежных с ним)
∠XMA=∠CAB=54 (накрест лежащие при XM||AB)
∠XCA=∠XMA/2 =54/2 =27
Или проведем биссектрису MD угла XMA. Биссектрисы внутренних углов при параллельных перпендикулярны, MD⊥AX. Биссектриса MD является высотой, следовательно и медианой. MD - средняя линия в треугольнике CAX, MD||CX. ∠XCA=∠DMA как соответственные. ∠XMA=∠CAB как накрест лежащие при XM||AB. ∠XCA=∠XMA/2=∠CAB/2=27
23 votes Thanks 23
siestarjoki
Сумма внутренних углов при параллельных 180, сумма их половин 90. В треугольнике, образованном биссектрисами, сумма двух углов 90, следовательно третий - прямой, биссектрисы перпендикулярны.
siestarjoki
То, что биссектриса угла при параллельных отсекает равнобедренный треугольник, часто используется в задачах. Биссектриса угла параллелограмма, биссектриса угла трапеции отсекают равнобедренный треугольник.
Answers & Comments
Verified answer
∠YAC - внешний угол, M - середина AC
∠YAX=∠MAX (AX - биссектриса ∠YAC)
∠YAX=∠MXA (накрест лежащие при XM||AB)
∠MAX=∠MXA => △XMA - равнобедренный, XM=MA
XM=MC, △XMC - равнобедренный => ∠XCA=∠MXC
∠XMA=2∠XCA (внешний угол равен сумме внутренних, не смежных с ним)
∠XMA=∠CAB=54 (накрест лежащие при XM||AB)
∠XCA=∠XMA/2 =54/2 =27
Или проведем биссектрису MD угла XMA. Биссектрисы внутренних углов при параллельных перпендикулярны, MD⊥AX. Биссектриса MD является высотой, следовательно и медианой. MD - средняя линия в треугольнике CAX, MD||CX. ∠XCA=∠DMA как соответственные. ∠XMA=∠CAB как накрест лежащие при XM||AB. ∠XCA=∠XMA/2=∠CAB/2=27