Verified answer

Ответ:

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм;

СМ и DM -биссектрисы углов С и D соответственно.

Точка М∈АВ

Доказать: АМ=МВ

Доказательство:

1. ∠1=∠2 (условие)

∠5=∠2 (накрест лежащие при АВ║СD и секущей МС)

⇒∠1=∠5

2. Рассмотрим ΔМВС.

∠1=∠5 (п.1)⇒ ΔМВС - равнобедренный (углы при основании равны)

⇒ МВ=ВС

3. ∠3=∠4 (условие)

∠3=∠6 (накрест лежащие при АВ║СD и секущей МD)

⇒∠4=∠6

4.. Рассмотрим ΔАМD.

∠4=∠6 (п.3)⇒ ΔАМD - равнобедренный (углы при основании равны)

⇒ АМ=АD

5. МВ=ВС (п.2)

АМ=АD (п.4)

ВС=АD (свойство параллелограмма)

⇒АМ=МВ

Verified answer

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, CM и DM - биссектрисы, M ∈ AB

Доказать: AM = MB

Решение: Так как по условию CM и DM - биссектрисы, то угол

∠ADM = ∠CDM, ∠BCM = ∠DCM. Через точку M проведем прямую, которая пересекает прямую CD в точке K и параллельна AD. Так как по определению параллелограмма AD║BC и по построению MK║AD, то MK║BC. Угол ∠ADM = ∠DMK как внутренние разносторонние углы при параллельных прямы (MK║AD) и секущей по теореме, следовательно так как угол ∠ADM = ∠DMK, то треугольник ΔMKD - равнобедренный по теореме и MK = KD. Угол ∠BCM = ∠CMK как внутренние разносторонние углы при параллельных прямы (MK║BC) и секущей по теореме, следовательно так как угол ∠BCM = ∠CMK, то треугольник ΔMKC - равнобедренный по теореме и MK = KC.

Так как MK = KC и MK = KD, то MK = KC = KD, тогда KC = KD и точка K - середина стороны DC. Так как MK параллельна сторонам параллелограмма и KC = KD, то MK - средняя линия параллелограмма, тогда AM = MB.