СРОЧНО!!
Через вершину прямого кута В трикутника АВС до його площини проведено перпендикуляр BN. Відстань від точки N до прямої АС дорівнює 13см. Знайти відстань від точки N до площини трикутника, якщо АС=25см, АВ=15см.
(Пожалуйста с объяснением и с рисунком!)
Через вершину прямого кута В трикутника АВС до його площини проведено перпендикуляр BN. Відстань від точки N до прямої АС дорівнює 13см. Знайти відстань від точки N до площини трикутника, якщо АС=25см, АВ=15см.
(Пожалуйста с объяснением и с рисунком!)
Answers & Comments
Відповідь:Спочатку ми зобразимо трикутник АВС та лінію BN на рисунку. Нехай точка М є проекцією точки B на сторону АС. Тоді треба знайти відстань від точки N до точки М.
triangle
За теоремою Піфагора у прямокутному трикутнику АВМ маємо:
�
�
=
�
�
2
−
�
�
2
=
1
5
2
−
�
�
2
VM=
AB
2
−BM
2
=
15
2
−BN
2
Також за теоремою Піфагора у прямокутному трикутнику ВNM маємо:
�
�
=
�
�
2
−
�
�
2
=
�
�
2
−
1
5
2
+
�
�
2
=
2
�
�
2
−
225
NM=
BN
2
−VM
2
=
BN
2
−15
2
+BN
2
=
2BN
2
−225
За теоремою Піфагора у трикутнику BNM маємо:
�
�
=
�
�
2
−
�
�
2
=
�
�
2
−
2
�
�
2
+
225
=
225
−
�
�
2
BM=
BN
2
−NM
2
=
BN
2
−2BN
2
+225
=
225−BN
2
Тепер розглянемо трикутник АНМ та проведемо висоту NH до сторони АМ. Оскільки АНМ та АВМ є подібними трикутниками, маємо:
�
�
�
�
=
�
�
�
�
=
25
−
15
25
=
2
5
NM
NH
=
AB
AM
=
25
25−15
=
5
2
Отже, $NH = \frac{2}{5}NM$. Підставимо вираз для $NM$ та отримаємо:
�
�
=
2
5
2
�
�
2
−
225
NH=
5
2
2BN
2
−225
Отже, відстань від точки N до площини трикутника АВС дорівнює $13 + NH$:
13
+
2
5
2
�
�
2
−
225
13+
5
2
2BN
2
−225
Остаточна відповідь: $13 + \frac{2}{5}\sqrt{2BN^2 - 225}$.
Покрокове пояснення: