Verified answer

Примем длину ребра основания за х.

Апофема равна А = √(25 - (х²/4) = √(100 - х²)/2.

Площадь боковой поверхности равна:

Sбок = (1/2)*4х*√(100 - х²)/2 = х√(100 - х²).

Площадь основания So = x².

По заданию S = Sо + Sбок = х² + х√(100 - х²) = 16.

Перенесём х² вправо и обе части возведём в квадрат.

100x² - x⁴ = 256 - 32x² + x⁴.

Получаем биквадратное уравнение:  2x⁴ - 132x² + 256 = 0.

Сократим на 2 заменим х² = t.

t² - 66t + 128 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t:  

Ищем дискриминант:

D=(-66)^2-4*1*128=4356-4*128=4356-512=3844;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1=(√3844-(-66))/(2*1)=(62-(-66))/2=(62+66)/2=128/2=64;

t_2=(-√3844-(-66))/(2*1)=(-62-(-66))/2=(-62+66)/2=4/2=2.

Обратная замена: х1 = 8 и х2 = √2.

Первый корень отбрасываем, так как площадь только основания равна 64, что больше заданного значения.

Ответ: длина основания равна: Р = 4х = 4√2.