мегаспецРассмотримпроблему существования решений уравнения х2 – y2 = kв целыхчислах.Докажем,что если целые числа х и y есть решениеэтого уравнения, то число k при делении на 4 не дает в остатке 2Итак,пусть существуют целые числа х и y, которые удовлетворяют этому уравнению, тогда:если оба числа х и y – четные, точисла х2 иy2 делятся на 4, откуда следует, что и разность х2 – y2 = k делится на 4;если одно из чисел х или y четное, адругое нечетное, то число х2 – y2 , а значит и число k нечетное;если оба числа х и y – нечетные, то так как квадратнечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1 (докажите этосамостоятельно), заключаем, что число х2 – y2 = k делится на 4.Таким образом, мыубедились, что если целые х и y – решениеуравнения, то число k при делении на 4 не может давать востатке 2.Докажем обратноеутверждение: если целое число k при делении на 4 не дает в остатке2, то уравнение имеет решение.Если k удовлетворяет этому условию и является четным числом,то оно делится на 4, следовательно, (k/4) есть целое число.Тогда нетрудно убедится в том, что целые числа х=(k/4)+1 и y=(k/4)-1 являются решениемэтого уравнения.Еслиk удовлетворяет условию и являетсянечетным числом, то k=2т+1, где т некоторое целое число. Тогда нетрудно убедиться в том, что числа х=т+1, y= т – целые и удовлетворяют уравнению.
Answers & Comments