Ответ:

а)   х ∈ [-2/3; +∞)

б)   x ∈ (2; 2,25)

в)   x ∈ [-1/4; 1/2]

Объяснение:

Решить неравенства:

а)   [tex]\displaystyle \bf \frac{1}{7^{3x}} \leq 49[/tex]

или

[tex]\displaystyle 7^{-3x}\leq 7^2[/tex]

Так как основание степени больше 1, то справедливо неравенство:

-3х ≤ 2     |:(-3)

• Если обе части неравенства разделить или умножить на отрицательное число, то знак неравенства перевернется.

х ≥ -2/3

х ∈ [-2/3; +∞)

б)  [tex]\displaystyle \bf log_{0,5}(2x-4) > 1[/tex]

или

[tex]\displaystyle log_{0,5}(2x-4) > log_{0,5}0,5[/tex]

Так как основание логарифма 0 < a < 1, то справедливо неравенство:

2х - 4 < 0,5

Учитывая, что выражение под знаком логарифма положительное, получим систему:

[tex]\displaystyle \left \{ {{2x-4 > 0} \atop {2x-4 < 0,5}} \right. \;\;\;\iff\;\;\;\left \{ {{2x > 4} \atop {2x < 4,5}} \right. \;\;\;\iff\;\;\;\left \{ {{x > 2} \atop {x < 2,25}} \right.[/tex]

x ∈ (2; 2,25)

в)  [tex]\displaystyle \bf 9\cdot 4^{2x-1}-0,5\cdot 4^{4x}\geq 1[/tex]

Воспользуемся свойствами степеней:

[tex]\displaystyle \bf a^m:a^n=a^{m-n}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a^m)^n=a^{mn}[/tex]

[tex]\displaystyle 9\cdot\frac{4^{2x}}{4} -0,5\cdot (4^{2x})^2}-1\geq 0\;\;\;|\cdot 4\\\\9\cdot 4^{2x}-2\cdot(4^{2x})^2-4\geq 0[/tex]

Замена переменной:

[tex]\displaystyle 4 ^{2x}=t;\;\;\;t > 0[/tex]

[tex]\displaystyle -2t^2+9t-4\geq 0\;\;\;\;\;|\cdot (-1)\\\\2t^2-9t+4\leq 0[/tex]

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем корни уравнения:

2t² - 9t + 4 =0

D = 81 - 32 = 49   ⇒   √D = 7

[tex]\displaystyle t_1=\frac{9+7}{4}= 4;\;\;\;\;\;t_2=\frac{9-7}{4}=\frac{1}{2}[/tex]

Определим знаки на интервалах:

[tex]+++[\frac{1}{2} ]---[4]+++[/tex]

⇒ 1/2 ≤ t ≤ 4

Выполним обратную замену:

[tex]\displaystyle \frac{1}{2}\leq 4^{2x}\leq 4\\ \\2^{-1}\leq 2^{4x}\leq 2^2[/tex]

2 > 1   ⇒

-1 ≤ 4x ≤ 2     |: 4

-1/4 ≤ x ≤ 1/2

x ∈ [-1/4; 1/2]

#SPJ1