Возьмём некоторое количество теплоты Q, которое нагреватель отдаёт воде за некоторое время t. Работа тока A в обмотках нагревателя за время t равна этому самому количеству Q:

A = UIt, A = Q => Q = UIt.

Нагреватель работает от сети переменного напряжения (или источника постоянного). Рассматривать будем сеть 220 В. В таком случае напряжение U будет являться константой:

U = const.

Получается, что в формуле Q нас интересует только параметр Ι - сила тока. Выразим t:

t = Q/(UI).

Выходит, что чем меньше сила тока, тем больше времени нужно затратить для нагрева воды до той же температуры и, следовательно, для получения ею того же количество тепла. Нам необходимо понять в каком из двух случаев (параллельное и последовательное соединение обмоток) сила тока будет больше, что обеспечит меньшее время нагрева воды до 100 °С.

Сила тока по Закону Ома для участка цепи равна:

I = U/R.

И т.к. U = const, то сила тока тем больше, чем меньше сопротивление.

При последовательном соединеннии двух одинаковых обмоток сопротивлением R сила тока будет одной и той же в каждой из обмоток:

U = I*Ro

U = U1 + U2

U1 = I*R1

U2 = I*R2

I*Ro = I*R1 + I*R2 | *(1/I)

Ro = R1 + R2, где R1 = R2 = R =>

=> Ro = R + R = 2R - это означает, что если заменить две обмотки одной эквивалентной, то её сопротивление будет равно удвоенному сопротивлению каждой. Сила тока равна:

I = U/(2R) - подставим это выражение в формулу выраженного времени:

t = Q/(UI)

t = Q/(U*(U/(2R))

t = (Q/U²)*2R.

При параллельном соединении напряжение на обеих обмотках одинаковое, а вот сила тока в них различна:

I = U/Ro

I = I1 + I2

I1 = U/R1

I2 = U/R2

U/Ro = U/R1 + U/R2 | *(1/U)

1/Ro = 1/R1 + 1/R2, где R1 = R2 = R =>

=> 1/Ro = 1/R + 1/R = 2/R => Ro = R/2 - если заменить две обмотки одной эквивалентной, то её сопротивление будет равно половине сопротивления каждой. Сила тока равна:

I = U/(R/2) = 2U/R - подставляем:

t = Q/(UI)

t = Q/(U*2U/R)

t = Q/(2U²/R)

t = QR/(2U²)

t = (Q/U²)*(R/2).

Остаётся сравнить два выражения времени:

t_послед. = (Q/U²)*2R

t_паралл. = (Q/U²)*(R/2).

Учитывая, что множитель (Q/U²) - это постоянная, то выходит, что нам надо сравнить лишь вторые множители:

2R > R/2 => t_послед. > t_паралл.

Значит при параллельном подключении обмоток нагревателя вода закипит быстрее. Причём быстрее в:

t_посл./t_паралл. = [(Q/U²)*2R] / [(Q/U²)*(R/2)] = 2R / (R/2) = 2R*2/R = 4 раза.