Verified answer

Ответ:

1)   [tex]\displaystyle \boldsymbol { \lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{x+3}{x+5} \bigg)^{3x-1}= e^{-6}}[/tex]

2)  [tex]\displaystyle \boldsymbol {\lim_{x \to 10} \frac{lg(x)-1}{\sqrt{x-9} -1} =\frac{1}{5}}[/tex]

Пошаговое объяснение:

5) Применим второй замечательный предел

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg(1+\frac{a}{x} \bigg)^{bx}=e^{ab}[/tex]

Преобразуем наш предел

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{x+3}{x+5} \bigg)^{3x-1}= \lim_{x \to \infty} \bigg(1+\frac{-2}{x+5} \bigg)^{3*x-1}[/tex]

Здесь а = (-2);  b = 3

и тогда

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \bigg(1+\frac{-2}{x+5} \bigg)^{3*x-1}=e^{-2*3}=e^{-6}[/tex]

6) Тут будет немного сложнее

преобразуем наше выражение под знаком предела.

а) домножим его на сопряженное знаменателю выражение и представим lg(x) в виде дроби   [tex]\displaystyle \frac{lg(x)}{lg(10)}[/tex].

Получим

[tex]\displaystyle \frac{lg(x)-1}{\sqrt{x-9}-1 } =\frac{\bigg(\frac{lg(x)}{lg(10)}-1\bigg)(\sqrt{x-9} +1) }{x-9-1} =\frac{(lg(x)-lg(10))(\sqrt{x-9} -1)}{(x-10)*lg(10)} =\\\\\\ =\frac{1}{lg(10)} *\frac{(lg(x)-lg(10))*(\sqrt{x-9} +1)}{x-10}[/tex]

Теперь рассмотрим пределы

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 10} (\sqrt{x-9} +1)=2[/tex]

а вот в пределе    [tex]\displaystyle \lim_{x \to 10} \frac{lg(x)-lg(10)}{x-10}[/tex]  мы получим

неопределенность    [tex]\displaystyle \frac{0}{0}[/tex]

Применим тут правило Лопиталя и получим

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 10} \frac{(lg(x)-lg(10))'}{(x-10)'} = \lim_{x \to 10} \frac{1}{x} =\frac{1}{10}[/tex]

Теперь соберем всё вместе и получим

[tex]\displaystyle \frac{1}{lg(10)} *2*\frac{1}{10} =1*2*\frac{1}{10} =\frac{1}{5}[/tex]

Таким образом

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 10} \frac{lg(x)-1}{\sqrt{x-9} -1} =\frac{1}{5}[/tex]

#SPJ1