Відповідь:

Пояснення:

Позначимо катети прямокутного трикутника як a та b. За теоремою Піфагора відносно гіпотенузи c, отримаємо:

c^2 = a^2 + b^2

Також відомо, що радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює 6 см, тому знаходимо площу трикутника двома способами:

S = (a * b)/2 = r * (a + b + c)/2, де r - радіус кола, вписаного в трикутник.

Звідси отримаємо формулу для периметра:

P = a + b + c

Розглянемо співвідношення між сторонами трикутника. Позначимо відрізок гіпотенузи, що лежить між точкою дотику та катетом a, як х, а відрізок між точкою дотику та катетом b, як y. За умовою задачі, маємо:

x + y = 18 (1)

c - x = 12 (2)

З рівнянь (1) та (2) знаходимо:

c = x + y + 6 (3)

x + y = 18

c - x = 12

тоді c = x + y + 6 = 24

замінимо це в формулу для площі:

S = (a * b)/2 = r * (a + b + c)/2 = 6 * (a + b + 24)/2 = 3 * (a + b + 24)

Далі можемо записати вираз для периметра, використовуючи рівняння (1), (2) і (3):

P = a + b + c = a + b + x + y + 6 = (a + x) + (b + y) + 6 = (c - 12) + (c - 18) + 6 = 2c - 24 = 2 * 24 - 24 = 24

Отже, катети трикутника дорівнюють 9 см та 15 см, а периметр складає 24 см.