Ответ:

1) q = 4

2) m +2M = 5.5

Пошаговое объяснение:

1)

Используем формулы

[tex]\displaystyle b_n=b_1*q^{n-1}\\S_n = \frac{b_1*(1-q^n)}{1-q}[/tex]

Определим для нашего случая

b₄ = b₁ + b₁*q³ = b₁ (1+q³) = 24

отсюда найдем b₁

[tex]\displaystyle b_1=\frac{24}{1+q^3}[/tex]

Теперь возьмем формулу первых 6ти членов и подставим туда b₁

[tex]\displaystyle S_6=\frac{b_1(1-q^6)}{1-q} \\\\\\504= \frac{\displaystyle \frac{24}{1+q^3} (1-q^6)}{1-q} \\\\\\ 504=\frac{24(1-q^3)(1+q^3)}{(1+q^3)(1-q)} \\\\\\504=\frac{24(1-q^3)}{1-q} \\\\\\504=\frac{24(1-q)(1+q+q^2 )}{1-q} \\\\\\21=1+q+q^2\\\\q^2 +q -20 = 0[/tex]

[tex]\displaystyle D= b^2-4ac =1-4*(-20) = 81\\\\\\q_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{-1+9}{2} =4\\\\\\q_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{-1-9}{2} =-5[/tex]

Поскольку у нас все члены прогрессии положительные, отрицательный знаменатель нам не подходит.

Следовательно, наш ответ q = 4

2)

Найдем критические точки функции.

Первая производная

[tex]\displaystyle y'(x) = \bigg(\frac{x}{2} +\frac{2}{(x-5)} \bigg )' = \frac{1}{2} -\frac{2}{(x-5)^2}[/tex]

Приравняем ее к нулю

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} -\frac{2}{(x-5)^2} =0\qquad x\neq 5\\\\\\\frac{(x-5)^2-4}{2(x-5)^2} =0 \\\\\\x^2-10x+25-4=0\\\\x^2-10x+21 = 0\\\\D=b^2-4ac=100-84=16\\\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{10+4}{2} =7\\\\\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{10-4}{2} =3[/tex]

Мы нашли две точки экстремума.

Найдем значение функции в этих точках

f(7) = 4.5

f(3) = 0.5

Теперь разберемся, где у нас минимум, а где максимум.

Вторая производная

[tex]\displaystyle y''(x) = \bigg(\frac{1}{2} -\frac{2}{(x-5)^2} \bigg)'=\frac{4}{(x-5)^3}[/tex]

y''(7) = 0.5 > 0 - это точка минимума, т.е. m = 4.5

y''(3) = -0.5 < 0  - это точка максимума, т.е. М = 0,5

Теперь считаем искомую сумму

m +2M = 4.5 +2*0.5 = 4.5 +1= 5.5