Verified answer

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = (1/3)x^3+(3/2)x^2-10x+4 на промежутке .

Ответ:

max f(x)=38.5; min f(x)=(-22/3).

Объяснение:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке:

1. Находим критические точки.
2. Вычисляем значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному промежутку и в крайних точках промежутка.
3. Выбираем наибольшее и наименьшее из них.

Найдём производную функции:

[tex]\Large \boldsymbol {} f(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2} x^2-10x+4\\\\f'(x)=\frac{1}{3}*3x^{3-1} +\frac{3}{2} *2x^{2-1} -10*1+0=\\\\=x^{2} +3x-10[/tex]

Найдём критические точки, которые принадлежат заданному промежутку:

[tex]\Large \boldsymbol {} x\in(-\infty;+\infty)\\\\x^{2} +3x-10=0\\\\D=b^2-4ac=3^2-4*1*(-10)=9+40=49\\\\x_{1,2}=\frac{-b\±\sqrt{D} }{2a}=\frac{-3\±7}{2} \\\\ x_1=\frac{-3+7}{2}=2 \:\in [-3;3]\\\\ x_2=\frac{-3-7}{2}=-5\:\notin [-3;3][/tex]

Единственная критическая точка, которая принадлежит промежутку [-3;3] - х=2. Находим значение функции в этой критической точке и крайних точках промежутка, тоесть f(2), f(-3) и f(3).

[tex]\Large \boldsymbol {} f(2)= \frac{1}{3}*2^3+\frac{3}{2} *2^2-10*2+4=\frac{8}{3} +\frac{3*4}{2} -\\\\-20+4=\frac{8}{3} -10=-\frac{22}{3}=\boxed{-7\frac{1}{3}}\\\\\\f(3)= \frac{1}{3}*3^3+\frac{3}{2} *3^2-10*3+4=\frac{27}{3} +\frac{3*9}{2} -\\\\-30+4=\frac{27}{2} -10=9+\frac{27}{2} -26=\frac{27}{2}-17=\boxed{-3.5}\\\\\\f(-3)= \frac{1}{3}*(-3)^3+\frac{3}{2} *(-3)^2-10*(-3)+4=-\frac{27}{3} +\\\\+\frac{3*9}{2} +30+4=25+\frac{27}{2} =\boxed{38.5}[/tex]

Среди получившихся значений выбираем наибольшее и наименьшее:

[tex]\large \boldsymbol {} max \:f(x)=f(-3)=38.5 \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: min \:f(x)=f(2)=-\frac{22}{3}\\ \ [-3;3] \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[-3;3][/tex]