Угол между боковым ребром и стороной основания правильной четырёхугольной пирамиды равен α. Определить объём пирамиды, если периметр её основания равен 2a
Объём правильной четырёхугольной пирамиды можно выразить через площадь её основания (S) и высоту (h) следующим образом:
V = (1/3) * S * h
Сначала определим площадь основания пирамиды. Поскольку периметр основания равен 2a, а основание правильной четырёхугольной пирамиды можно разделить на четыре равных треугольника, площадь основания равна:
S = (a/4)^2 * 4 * tan(α/2)
Здесь (a/4)^2 - площадь каждого из четырёх треугольников, и мы умножаем её на 4, так как у нас четыре таких треугольника.
Теперь нужно найти высоту пирамиды (h). Для этого можно использовать тригонометрические соотношения. С учетом того, что угол между боковым ребром и стороной основания равен α, мы можем использовать тангенс этого угла:
tan(α) = h / (a/2)
h = (a/2) * tan(α)
Теперь у нас есть все данные, чтобы вычислить объём пирамиды:
Answers & Comments
Ответ:
Объём правильной четырёхугольной пирамиды можно выразить через площадь её основания (S) и высоту (h) следующим образом:
V = (1/3) * S * h
Сначала определим площадь основания пирамиды. Поскольку периметр основания равен 2a, а основание правильной четырёхугольной пирамиды можно разделить на четыре равных треугольника, площадь основания равна:
S = (a/4)^2 * 4 * tan(α/2)
Здесь (a/4)^2 - площадь каждого из четырёх треугольников, и мы умножаем её на 4, так как у нас четыре таких треугольника.
Теперь нужно найти высоту пирамиды (h). Для этого можно использовать тригонометрические соотношения. С учетом того, что угол между боковым ребром и стороной основания равен α, мы можем использовать тангенс этого угла:
tan(α) = h / (a/2)
h = (a/2) * tan(α)
Теперь у нас есть все данные, чтобы вычислить объём пирамиды:
V = (1/3) * S * h
V = (1/3) * [(a/4)^2 * 4 * tan(α/2)] * [(a/2) * tan(α)]
Упростим выражение:
V = (1/3) * (a^3/16) * 4 * tan(α/2) * (a/2) * tan(α)
V = (1/3) * (a^4/8) * tan(α/2)^2
Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен (a^4/24) * tan(α/2)^2.