Арифметически - значит без уравнения. С уравнением - это уже алгебраически :)

Решение:

1) 50*7 = 350 (км/ч) - скорость вертолёта

2) 350 - 50 = 300 (км/ч) - на столько больше скорость вертолёта, чем скорость поезда. Это значит, что они сближаются за час на 300 км.

3) 50*12 = 600 (км) - проехал поезд до момента вылета вертолёта - то есть расстояние между  вертолётом и поездом в момент вылета вертолёта было 600 км

4) 600 : 300 = 2 (часа) - за столько времени вертолёт догонит поезд

5) 350 * 2 = 700 (км) - пролетит вертолёт до того момента, как он догонит поезд (это половина пути)

6) 700 * 2 = 1400 (км) - полное расстояние между городами

Ответ: расстояние между городами 1400 км

Verified answer

пусть расстояние между городами х км, тогда время, затраченное поездом на половину пути х/2:50=х/100

скорость вертолета 50*7=350 его время полёта х/2:350=х/700

по условию поезд был в пути на 12 часов больше

получаем ур-ние       х/100-х/700=12

                               7х-х=12*700

                                  х=1400