Verified answer

Задание № 1:

Решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0. В ответеукажите сумму его корней.

(x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0

(x^2-x+1)^2-10(x^2-x-12)-109=0

замена x^2-x+1=a

a^2-10(a-13)-109=0

a^2-10a+130-109=0

a^2-10a+21=0

(a-3)(a-7)=0

a=3

a=7

x^2-x+1=3

x^2-x-2=0

D=1+4*2>0, корни есть

x1+x2=1

x^2-x+1=7

x^2-x-6=0

D=1+4*6>0, корни есть

x3+x4=1

x1+x2+x3+x4=1+1=2

ответ: 2

Задание № 2:

Число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. В каком изэтих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7?

первый случай обозначим за хx=7k+2

второй случай обозначим за уy=7k+4

x^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4 -остаток 4

y^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k++2)+2- остаток 2

4>2, больший остаток найден

ответ: 1 (остаток =2)

Задание № 3:

Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двухпунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньшевторого, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. Есливторой выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч40 мин после своего выхода. Какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

пусть х  скорость первого (ее надо найти), у скоростьвторого

имеем систему

2.5x+2y=20 // так как первыйшел 2,5 часа и вышел на полчаса раньше, то второй шел 2 часа

5x/3+8y/3=20 // так как второйшел 2 ч 40 мин и вышел на часраньше, то первый шел 1 ч 40 мин

5x+4y=40

5x+8y=60

4y=20

y=5

2.5x+2*5=20

2.5x=10

x=4

ответ: 4

Задание № 4:

Трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами,но в обратном порядке, на 495. Сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, асумма квадратов его цифр равна 109. Найти такое трехзначное число.

это число abc

система:

100a+10b+c=100c+10b+c+495

a+b+c=17

a^2+b^2+c^2=109

a=c+5

c+5+b+c=17

(c+5)^2+b^2+c^2=109

b+2c=12

c^2+10c+25+b^2+c^2=109

b=12-2c

2c^2+10c+b^2-84=0

2c^2+10c+(12-2c)^2-84=0

2c^2+10c+144-48c+4c^2-84=0

6c^2-38c+60=0

3c^2-19c+30=0

D=361-4*3*30=1

c=(19+1)/6=20/6 не натуральное

c=(19-1)/6=3

b=12-2*3=6

a=3+5=8

ответ: 863

Задание № 5:

При каких значениях параметра b корень уравнения6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

6-3b+4bx=4b+12x

4bx-12x=4b-6+3b

(4b-12)x=7b-6

x=(7b-6)/(4b-12)

(7b-6)/(4b-12)<1

(7b-6-4b+12)/(4b-12)<0

(3b+6)/(4b-12)<0

(b+2)/(b-3)<0

промежуток между корнями (-2; 3)

ответ: (-2; 3)

Задание № 6:

Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисойострого угла, а основания относятся как 1:2. Периметр трапеции равен 90.Найдите большую сторону трапеции.

меньшее основание х, большееоснование 2х

если острый угол при основании2А, то его половина, отсеченная биссектрисой А

сумма острого и тупого угларавнобедренной трапеции равна 180 градусов, значит тупой угол (180-2А)

теперь рассматриваемтреугольник (со сторонами боковая сторона трапеции, ее меньшее основание идиагональ) с двумя известными углами А и (180-2А), находим третий угол - А -треугольник равнобедренный

боковыми сторонами этоготреугольника являются боковая сторона трапеции и ее меньшее основание

значит и боковые сторонытрапеции равны х

записываем периметр

х+х+х+2х=90

5х=90

х=18

большая сторона 2х=36

ответ: 36

Задание № 7:

Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QSперпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS=13, QM=10, QR=26.Найти площадь четырехугольника PQRS.

углы PRQ и PSQ опираются наодну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны,значит в частности углы PMS и RMQ равны

тогда треугольники PMS и RMQподобны

k=QR/PS=2

отношение k=QM/PM=2

10/PM=2; PM=5

отношение k=RM/SM=2

находим RM по т. Пифагора

RM=корень(QR^2-QM^2)=корень(26^2-10^2)=24

24/SM=2; SM=12

тогда полные диагонали:

QS=QM+SM=10+12=22

PR=PM+RM=5+24=29

площадь четырехугольника равнаполупроизведению их диагоналей на синус угла между ними

S=(1/2)*22*29*sin90=319

ответ: 319