Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающая дугу 90° . Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти площадь боковой поверхности конуса.
С обоснованием шагов решения.
Answers & Comments
Ответ:
31.25π√2
Объяснение:
Хорда АС = 5см. Дуга ∩АС=90°
∠АОС - центральный угол.
Проведём OD⊥AC. Т.к. ОВ⊥OD - как высота конуса, то по теореме о трёх перпендикулярах ВD⊥АС. ∠ВDО=60°, как угол между сечением (АВС) и плоскостью основания конуса.
ΔАОС-равнобедренный, т.к. АО=ОС=R, в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию является также медианой ⇒АD=DС=2,5 см
В равнобедренном Δ углы при основании равны: ∠А=∠С=90/2=45°
Рассмотрим прямоугольный ΔАDО(∠D=90°). ∠DOA=∠DAO=45° ⇒
ΔАDО - равнобедренный. По свойству равнобедренного Δ: DO=АD=2,5см
Рассмотрим прямоугольный ΔOBD(∠O=90°).
∠OBD=90-∠ВDО=90-60°=30°, напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы ⇒BD=2*DO=5 см
Рассмотрим прямоугольный ΔCBD(∠D=90°). По теореме Пифагора найдём образующую конуса ВС:
Тогда боковая поверхность конуса: