Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, а диагонали AC и BC перпендикулярны, то эти диагонали делят заданный четырёхугольник на 4 прямоугольных треугольника. Эти треугольники попарно подобны (по вертикальным углам при пересечении диагоналей) по равенству двух вписанных углов, опирающихся на равные дуги.
Обозначим точку пересечения диагоналей Е, центр описанной около четырёхугольника окружности О.
Из подобия треугольников АВЕ и ДЕС следует АЕ:ЕД = 3:4. Примем коэффициент подобия у. Тогда 8² = (3у)² + (4у)², 9у² + 16у² = 64, 25у² = 64, у = √(64/25) = 8/5. Получаем: АЕ = 3х = 24/5 = 4,8. ДЕ = 4х = 32/5 = 6,4.
Answers & Comments
Verified answer
Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, а диагонали AC и BC перпендикулярны, то эти диагонали делят заданный четырёхугольник на 4 прямоугольных треугольника.Эти треугольники попарно подобны (по вертикальным углам при пересечении диагоналей) по равенству двух вписанных углов, опирающихся на равные дуги.
Обозначим точку пересечения диагоналей Е, центр описанной около четырёхугольника окружности О.
Из подобия треугольников АВЕ и ДЕС следует АЕ:ЕД = 3:4.
Примем коэффициент подобия у.
Тогда 8² = (3у)² + (4у)²,
9у² + 16у² = 64,
25у² = 64,
у = √(64/25) = 8/5.
Получаем: АЕ = 3х = 24/5 = 4,8.
ДЕ = 4х = 32/5 = 6,4.
Угол АВД как вписанный равен (1/2) центрального угла АОД.
Синус (1/2) центрального угла АОД равен (8/2)/(17/2) = 4/8,5 = 0,470588. Угол АBД равен 0,489957 радиан или 28,07249°.
Косинус угла ЕАД = 4,8/8 = 0,6.
Угол ЕАД = 0,927295 радиан или53,1301°.
Угол АДЕ = 90° - 53,1301 = 36,8699°.
По теореме синусов находим АB = AD*sin АДЕ / sin АBД =
= 8*0,6/0.470588 = 10,2.
Сторона ДС по заданию равна (4/3) АВ = (4/3)*10,2 = 13,6.
ВЕ = √10,2²-4,8²) = √(104.04 -23.04) = √81 = 9.
СЕ = √(13,6²-6,4²) = √(184.96 -40.96) = √144 = 12.
ВС = √(9²+12²) = √(81+144) = √= 15.