Четырехугольник ABCD вписан в окружность, его диагонали AC и BD пересекаются в точке F, причем AB=8, CD=4, периметр треугольника CDF равен 9, площадь треугольника ABF равна 3sqrt(15). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADF.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Verified answer
ΔABF~ΔDCF по двум углам (<BAC=<CDB как впианные, опирающиеся на одну дугу, <AFB=DFC - вертикальные). Коэффициент подобия равен k=AB/CD=2.Из ΔDCF DF+FC=9-4=5. (периметр =9 - дано).
Тогда AF+BF=10 (из подобия).
Пусть АF=x, тогда BF=10-x. Тогда по формуле Герона
Sabf=√([p(p-a)(p-b)(p-c), a S²=p(p-a)(p-b)(p-c). В нашем случае р=(AB+AF+BF)/2=9 и
135=9(9-8)(9-х)(9-10+х) или
135=9(9-х)(х-1). Отсюда 135=90х-9х²-81 или
х²-10х+24=0
х1=6, y1=4 и x2=4, y2=6.
Sabf=(1/2)*x*y*SinAFB. SinAFB=2Sabf/x*y=6√15/24=√15/4.
Sin(180-a)=Sina. SinAFD=√15/4.
CosAFD=√(1-15/16)=1/4.
По теореме косинусов:
AD²=x²+x²/4-2*(x²/2)*(1/4)=x²
AD=x.
Радиус описанной окружности треугольника ADF по теореме синусов:
2R=AD/SinAFD, R=AD/2SinAFD.
Тогда R1=6*4/2√15=12/√15 = 4√15/5.
R2=4*4/2√15=8/√15 = 8√15/15.
Ответ: R1=4√15/5. R2=8√15/15.