Четырехугольник ABCD вписан в окружность, точка О - точка пересечения диагоналей...

July 2022 1 16 Report

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, точка О - точка пересечения диагоналей AC и BD. Известно, что S abo=4S bco, ВО=1, DO=16. Найти АС.

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Обозначим угол $BOC=a$ . Тогда угол $BOA=180-a$ .
Площадь треугольника $S_{AOB}=\frac{AO*1*cosa}{2}\\
S_{BOC}=\frac{OC*1*sina}{2}\\\\
S_{AOB}=4S_{BOC}\\
S_{ABC}=\frac{5OC*sina}{2}\\\\ 
S_{OCD}=8OCcosa\\
S_{AOD}=8AOsina\\
S_{CDA}=8OCcosa+8AOsina\\\\
S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina\\


$
но с другой стороны площадь четырехугольника равна
$S_{ABCD}=(AO+OC)*8.5*sina$
Тогда $2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina=(AO+OC)*8.5*sina$
По свойству хорд получаем
$AO*OC=16*1$
выражая и подставляя в уравнение
$2.5*\frac{16}{AO}*sina+8*\frac{16}{AO}*cosa+8*AO*sina=$ $(AO+\frac{16}{AO})*8.5*sina$
откуда получаем что
$(AO^2+192)sina=256cosa\\
AO^2=256ctga-192\\
$
но по условию $S_{ABO}=4S_{BCO}\\
AO*OC=16\\\\
S_{ABO}=\frac{AO*cosa}{2}\\ 
S_{BOC}=\frac{OC*sina}{2}\\
\frac{AO*cosa}{OC*sina}=4\\
AO*cosa=4OC*sina\\ 
\frac{AO}{OC}=4tga\\
\frac{AO}{\frac{16}{AO}}=4tga\\
AO=8\sqrt{tga}\\\\
$
Уравнение
$256ctga-192=8\sqrt{tga}$
Откуда решение
$x=\frac{\pi}{4}$ второй не подходит
Откуда $AO=8 \ \ OC=2\\\\
AC=8+2=10$

0 votes Thanks 0

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social