Ответ:

ΔАВC  ,  ∠В=90°  . Точки K , M , L - центры квадратов , точки пересечения их диагоналей  . Доказать , что  СK = LM .

Обозначим   а=ВС , с=АВ , b=AC .

Опустим перпендикуляры:  KH ⊥BT ,  MP ⊥ CN ,  LG ⊥ BC  .

Рассмотрим  ΔКНС , ∠КНС=90° ,  КН = HB = с/2  ,  по теореме Пифагора имеем   СК² = КН²+СН² = КН² + (НВ+СВ)²  .

[tex]\bf CK^2=\dfrac{c^2}{4}+\Big(\dfrac{c}{2}+a\Big)^2=\dfrac{c^2}{4}+\dfrac{c^2}{4}+2\cdot \dfrac{c}{2}\cdot a+a^2= \dfrac{c^2}{2}+a^2+a\, c[/tex]    

Рассмотрим  ΔMPC , ∠MPC=90° ,  ∠MCP=∠CMP=45°  ,  MP=CP = b/2  ,  по теореме Пифагора имеем   MC² = MP²+CP²  .

[tex]\bf MC^2=\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}=\dfrac{2b^2}{4}=\dfrac{b^2}{2}\ \ ,\ \ \ MC=\dfrac{b}{\sqrt2}[/tex]  

Аналогично из  ΔCLG , ∠CGL=90° ,  ∠LCG=∠CLG=45°  ,  LG=CG = a/2  ,

[tex]\bf CL=\dfrac{a}{\sqrt2}[/tex]

Рассмотрим  ΔCLM ,  ∠MCL = ∠LCG + ∠ACB + ∠ACM  ,  ∠ACM=45°  ⇒  

∠MCL = 45°+ ∠ACB +45° = 90° + ∠ACB    

По теореме косинусов  для  ΔСLM  имеем  

[tex]\bf LM^2=MC^2+CL^2-2\cdot MC\cdot CL\cdot cos(90^\circ +\angle{ACB})\\\\ LM^2=MC^2+CL^2-2\cdot MC\cdot CL\cdot (-sin\angle{ACB})[/tex]    

Найдём  синус ∠ACB  из   ΔАВС  ,  [tex]\bf sin\angle{ACB}=\dfrac{c}{b}[/tex]  .  А также по теореме Пифагора  b² = a² + c²  .

[tex]\bf LM^2=MC^2+CL^2+2\cdot MC\cdot CL\cdot sin\angle{ACB}\\\\LM^2=\Big(\dfrac{b}{\sqrt2}\Big)^2+\Big(\dfrac{a}{\sqrt2}\Big)^2+2\cdot \dfrac{b}{\sqrt2}\cdot \dfrac{a}{\sqrt2}\cdot \dfrac{c}{b}=\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+2\cdot \dfrac{abc}{2b}=\\\\\\=\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+ a\, c=\dfrac{a^2+c^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+ac=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}+a\, c=\dfrac{c^2}{2}+a^2+a\, c[/tex]  

Сравним выражения, полученные для  CK²  и  LM² .  Они равны .

СK = LM  

Ответ:

..........................................................

Пошаговое объяснение: