Verified answer

Объяснение:

[tex] (\cos \alpha - \sin \alpha ) \cdot ( \cos \alpha + \sin \alpha ) = 1 - 2 \sin^{2} \alpha \\ [/tex]

Преобразование левой части

[tex] (\cos \alpha - \sin \alpha ) \cdot ( \cos \alpha + \sin \alpha ) = \\ =\cos^{2} \alpha - \sin ^{2}\alpha = \\ = (1 - 1) + \cos^{2} \alpha - \sin ^{2}\alpha = \\ = 1 + \cos^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha - 1 = \\ [/tex]

А т.к. мы знаем что всегда cos² а + sin² а=1

Заменяем единицу со знаком минус на выражение cos² а + sin² а:

[tex] \small{...}={ 1 }+ \cos^{2} \alpha - \sin ^{2} \alpha -( \cos^{2} \alpha{ + }\sin ^{2} \alpha) = \\ \small{...}={ 1 }+ \cancel{\cos^{2} \alpha }- \sin ^{2} \alpha -\cancel{\cos^{2} \alpha }{ - }\sin ^{2} \alpha= \\ = 1{ - }\sin ^{2} \alpha{ - }\sin ^{2} \alpha= 1 - 2 \sin^{2} \alpha \\ [/tex]

Мы получили выражение такое же как в правой части.

Следовательно, тождество доказано

Кстати, данная формула явояется ни чем иным, как формулой косинуса двойного угла

[tex] \small{\cos {2\alpha } ={\cos^{2} \alpha} }{ - }\sin ^{2} \alpha=1{ - }2\sin ^{2} \alpha=2\cos^{2} \alpha -1\\ [/tex]