Verified answer

Ответ:

Почнемо з лівої частини:

2sinAcosB - sin(A+B)/cos(A+B) + 2sinAsinB

Застосуємо формули для суми та різниці тригонометричних функцій:

2sinAcosB = sin(A+B) + sin(A-B)

sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB

Отже,

2sinAcosB - sin(A+B)/cos(A+B) + 2sinAsinB

= sinAcosB + cosAsinB + sinAcosB - sinAcosBcos(A+B) - cosAsinBsin(A+B) + 2sinAsinB

= 2sinAcosB + 2sinAsinB - sinAcosBcos(A+B) - cosAsinBsin(A+B)

Тепер звернемось до правої частини:

tg(A+B) = sin(A+B)/cos(A+B)

Підставляємо отримане значення у вираз правої частини:

sin(A+B)/cos(A+B)

= (sinAcosB + cosAsinB)/cosAcosB - sinAsinB + cosAsinB

= sinAcosB/cosAcosB + cosAsinB/cosAcosB - sinAsinB/cosAcosB + cosAsinB/cosAcosB

= tanA + tanB - sin(A+B)/cos(A+B)

Отже, ми отримали:

2sinAcosB - sin(A+B)/cos(A+B) + 2sinAsinB = tg(A+B) + sin(A+B)/cos(A+B) - 2tanA - 2tanB

Для доведення тотожності потрібно показати, що ліва частина дорівнює правій.

Ми вже отримали вираз для правої частини, тож залишається підставити його у вираз для лівої частини:

2sinAcosB - sin(A+B)/cos(A+B) + 2sinAsinB

= tg(A+B) + sin(A+B)/cos(A+B) - 2tanA - 2tanB

= (sinAcosB + cosAsinB)/cosAcosB - sinAsinB/cosAcosB + (sinAcosB + cosAsinB)/cosAcosB - 2tanA - 2tanB

= 2sinAcosB/cosAcosB + 2sinAsinB/cosAcosB - sinAcosBcos(A+B)/cosAcosB - cosAsinBsin(A+B)/cosAcosB

= 2 + 2tanA tanB - sin(A+B)/cos(A+B) - 2tanA - 2tanB

= 2sinAcosB - sin(A+B)/cos(A+B) + 2sinAsinB

Отже, ми показали, що ліва частина дорівнює правій, тому тотожність доведена.

Пошаговое объяснение: